2010微分流形试卷

2009—2010学年第二学期研究生期末考试试卷学院：数信学院考试对象：2009年级基础数学专业课程名称：微分流形课程类型：学位专业课考试方式：闭卷考试时间：120分钟答题要求：请把答案写在答题纸上，写在试卷上无效。1、设是n维向量空间V上的q阶协变张量,证明:是对称张量当且仅当qS.（10分）2、证明：n维球面1:,1nnSxxx且是一个n维光滑流形.（20分）3、设映射23:f和32:g的定义分别为:12222112,3cos,2xxfxexxxx221231332,1gyyyyyy设Fgf,求0F.（10分）4、设U是m维光滑流形M的一个开子集，X是U上的光滑切向量场，证明：对于任意的点pU，必有p的一个开领域VU，以及M上的光滑切向量场X，使得VVXX.（15分）5、设Xyxxy是2上的光滑切向量场,求X所生成的单参数变换群.（15分）6、设xydxzdyyzdz，22xdxyzdyxdz，并且设映射23:f的定义如下：2,,,3fuvuvuuv，2,uv.试求：（1）d；（2）d；（3）dd；（4）f和fd.（20分）7、设,Mg是n维有向黎曼流形,;iUx是定向相符的局部坐标系,令,ijijggxx,detijGg.证明：1nGdxdx与局部坐标系的选取无关，从而是大范围地定义在M上的n次外微分式.（10分）