13数学分析期末复习题01

13数学分析(三)复习范围一、计算题(每小题10分，共70分)1.全微分计算题2.求隐函数(组)的一阶偏导数3.求抽象函数的二阶偏导数4.求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程5.求函数的极值6.计算第一型曲面积分7.计算第二型曲面积分8.计算第二型曲线积分(格林公式)9.二重积分的计算10.高斯公式与斯托克斯公式11.求多元函数的方向导数12.曲线积分与路径无关问题13.将三次积分用柱坐标与球坐标表示14.应用--求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分)15.利用余元公式B(p,1-p)=psin，计算01nxdx类积分值二、解答与证明题(第小题10分，共30分)1.用定义证明多元函数的极限2.证明多元函数的连续性3.研究含参量积分的一致收敛性4.证明含参量非正常积分的连续性5.三重积分的证明题6.有关多维空间的聚点或开闭集问题7.证明二重极限不存在8.多元函数的可微性证明例题一、计算题1.全微分计算题公式：du=uxdx+uydy+uzdz。例1：求函数u=2222zxxy的全微分；例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x2+y2+z2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。2.求隐函数(组)的偏导数例3：设zyezx，求yxz2。例4：设2x+y+3z=0，x+y+z=e-(x+y+z)，求dxdy，dxdz。3.求抽象函数的二阶偏导数例5：设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求zxu2，22uy其中f具有二阶连续的偏导数；例6：设u=f(x2-y2，xye)，求yxu2，其中f具有二阶连续偏导数。4.求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线例7：求曲线：x2+y2+z2=6，x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。例8：求曲线0453203222zyxxzyx在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程。例9：求曲面x2+2y2+3z2=21的平行于平面x+4y+6z=0的各切平面。5.求函数的极值或条件极值例10：求f(x,y)=e2x(x+2y+2y2)的极值。例11：求抛物线y=x2和直线x-y-2=0之间的最短距离。6.计算第一型曲面积分例12：计算SdSzxyzxy)(，其中S为锥面22yxz被曲面x2+y2=2ax所截得的部分。例13：计算：xyzdS，是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分。7.计算第二型曲面积分例14：求I=Sdxdyyzxdydzxyz)()2(22，其中S是圆柱面x2+y2=1被平面y+z=1和z=0所截出部分的外侧。例15：计算yzdxdydzdxyxzdydz24，其中是平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，z=1所围成的立方体的全表面的外侧。8.计算第二型曲线积分(格林公式)例16：计算曲线积分AmBxxdymeydxmyey)()(，其中(y)和/(y)为连续函数，AmB为连接点A(x1,y1)和点B(x2,y2)的任何路径，但与线段AB围成的区域AmBA的面积为已知常数S。例17：求曲线积分Cxxdyyyedxye)sin()cos1(，其中C为0x，0ysinx的正方向的围线。9.二重积分的计算例18：计算：Dxydxdy，其中D由x2+y21，x-y+10，0x1围成。例19：计算I=Ddxdyyx22，其中D由x=2，y=x，xy=1所围成。10.高斯公式与斯托克斯公式例20：计算I=Ldzyxdyxzdxzy)3()2()(222222，其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向。例21：计算dxdyyxdzdxxzdydzzyx)1()1()(2222222，其中是三个坐标平面和平面x+2y+z=1组成的按片光滑曲面，取外侧。11.求多元函数的方向导数例22：求函数z=ln(x+y)在位于抛物线y2=4x上一点(1,2)处沿这抛物线切线上的方向导数。例23：在椭球面2x2+2y2+z2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x2+y2+z2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。12.曲线积分与路径无关问题例24：确定的值，使曲线积分I=ldyyyxdxxyx)56()4(4214与路径无关，并计算自点A(1,2)到点B(0,0)的I值。例25：定常数a，使得任何不经过y=0的区域上曲线积分Caadyyxyxdxyxyx)()(222222与路径无关，并求),()1,1(222222)()(),(yxaadyyxyxdxyxyxyxu。13.将三次积分用柱坐标与球坐标表示例26：将三次积分I=)(30222102222)(yxyyyydzzyxfdxdy分别表示为柱坐标及球坐标的形式。例27：设是由x2+y2=2z，z=1，z=2所围成的介于z=1及z=2之间的闭区域，f是上连续。利用柱面坐标将三重积分I=dxdydzzyxf),,(化为三次积分。14.应用：求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分)例28：有一铁丝成半圆形x=acost，y=asint，0t，其上每一点密度等于该点的纵坐标，求铁丝的质量。例29：Lzds，其中L为圆锥螺线x=tcost，y=tsint，z=t，t[0,t0]；例30：求球面x2+y2+z2=a2为平面z=4a，z=2a所夹部分的曲面面积S。15.利用余元公式B(p,1-p)=psin，计算01nxdx类积分值例31：利用余元公式B(p,1-p)=psin计算积分041xdx。例32：利用余元公式B(p,1-p)=psin计算积分061xdx。(注意B函数的另一形式：B(p,q)=01)1(dxxxqpp)二、解答与证明题：1.用定义证明多元函数的极限例33：用极限定义证明211lim(23)5xyxy。例34：用极限定义证明2202lim(3)4xyxxyy。2.证明多元函数的连续性例35：若函数f(x,y)在区域D内关于每一个变量都有有界偏导数，则f在D内连续。例36：设f(x,y)在dycbxayxD,),(上连续，函数列)(xn在[a,b]上一致收敛，且cn(x)d，证明：))(,()(xxfxgnn在[a,b]上一致收敛。3.研究含参量积分的一致收敛性例37：研究：220sin()xydxxyxy在[a,+]，a0的一致收敛性。例38：研究：1cosxdxx在[21,1]内一致收敛性。4.证明含参量非正常积分的连续性例39：证明：F()=20arctan1()xdxx在(-,+)内连续。例40：证明：F(x)=02xydyy在(2,+)内连续。5.三重积分的证明题例41：设一元函数f(t)在(0,+)内具有一阶连续导数，令2222(,,)txyzxyzt，F(t)=222tfxyzdxdydz。(1)证明F(t)在(0,+)内具有二阶连续导数；(2)求出F/(t)的表达式。例42：设函数f(u)具有连续的导数，且f(0)=0，试求dvzyxftt)(1lim22240，其中：x2+y2+z2t2。6.有关多维空间的聚点或开闭集问题例43：设f(x,y)是定义在R2上的连续函数，求证：对任意实数c，集合E={(x,y)|f(x,y)c}是开集，F={(x,y)|f(x,y)c}是闭集。例44：证明：当且仅当存在各点互异的点列{Pn}E，PnP0，nlimPn=P0时，P0是E的聚点。7.证明二重极限不存在例45：证明：200)(limyxxyxyyx不存在。例46：讨论极限24200limyxyxyx的存在性。8.多元函数的可微性证明例47：设f(x,y)=0,00,2222222yxyxyxyx，证明f(x,y)在原点连续，存在偏导数但在原点不可微。例48：设f(x,y)=)0,0(),(0)0,0(),(223yxyxyxx。证明f(x,y)在(0,0)不可微。9.曲线积分的证明题例49：证明：若C为平面上的封闭曲线，则cos(,)CCnydsdx，n为C的外法线向量。例50：求积分值I=Ldsynyxnx)],cos(),cos([，其中L为包围有界区域D的闭曲线，n为L的外法线方向。例题选讲一、计算题1.全微分计算题例1：求函数u=2222zxxy的全微分；解：du=222222xzyxydx222222yzxxydy+222zxydz。例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x2+y2+z2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。解：dz=zxdx+zydy=322xzdx-zydy。2.求隐函数(组)的偏导数例3：设zyezx，求yxz2。解：令F=zzye-x=0，则)1(zxzxz，yxz2=3)1(zxz。例4：设2x+y+3z=0，x+y+z=e-(x+y+z)，求dxdy，dxdz。解：dxdy=-21，dxdz=-21。3.求抽象函数的二阶偏导数例5：设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求zxu2，22uy其中f具有二阶连续的偏导数；解：ux=a(f1/+f3/)，zxu2=ac(f12//+f13//+f23//+f33//)。uy=b(f1/+f2/)，22uy=b2(f11//+2f12//+f22//)。例6：设u=f(x2-y2，xye)，求yxu2，其中f具有二阶连续偏导数。解：xu=2xf1/+yxyef2/，yxu2=2x(-2yf11//+xxyef12//)+(1+xy)xyef2/+yxye(-2yf21//+xxyef22//)=-4xyf11//+2(x2-y2)xyef12//+xyxye2f22//+(1+xy)xyef2/。4.求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线方程例7：求曲线：x2+y2+z2=6，x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。解：令F(x,y,z)=x2+y2+z2-6=0，G(x,y,z)=x+y+z=0，则61122),(),()1,2,1()1,2,1(zyzyGF，01122),(),()1,2,1()1,2,1(xzxzGF，61122),(),()1,2,1()1,2,1(yxyxGF，(z-1)-(x-1)=0，即x-z=0为所求。例8：求曲线0453203222zyxxzyx在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程。解：1191161zyx，16x+9y-z-24=0。例9：求曲面x2+2y2+3z2=21的平行于平面x+4y+6z=0的各切平面。解：设F(x,y,z)=x2+2y2+3z2-21=0，则(Fx,Fy,Fz)=(2x,4y,6z)，取其法向量n=(x,2y,3z)，由于切平面与平面x+4y+6z=0平行，tzyx63421，得tztytx22，将其代入曲面方程得：t2+8t2+12t2=21，t=1，曲面x2+2y2+3z2=21在点(1,2,2)和点(-1,-2,-2)处的切平面分别为：(x-1)+4(y-2)+6(z-2)=0，(x+1)+4(y+2)+6(z+2)=0，即x+4y+6z-21=0，x+4y+6