2011《金版新学案》高三数学一轮复习第八章不等式阶段质量检测五随堂检测理北师大版

用心爱心专心1阶段质量检测(五)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{x|x2＜4}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N等于()A．{x|x＜－2}B．{x|x＞3}C．{x|－1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【解析】M＝{x|－2＜x＜2}，N＝{x|－1＜x＜3}，则M∩N＝{x|－1＜x＜2}．【答案】C2．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是()A．15B．30C．31D．64【解析】由{an}是等差数列知a7＋a9＝2a8＝16，∴a8＝8，又a4＝1，∴a12＝2a8－a4＝15.【答案】A3．下列命题中的真命题是()A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b2【解析】由a＞|b|，可得a＞|b|≥0⇒a2＞b2.【答案】D4．不等式x＋1x－1＜1的解集为()A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|－1＜x＜0}D．{x|x＜0}【解析】∵x＋1x－1＜1，∴|x＋1|＜|x－1|，∴x2＋2x＋1＜x2－2x＋1.∴x＜0.∴不等式的解集为{x|x＜0}．【答案】D5．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则a2a1等于()用心爱心专心2A．1B．2C．3D．4【解析】由S1，S2，S4成等比数列，∴(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)．∵d≠0，∴d＝2a1.∴a2a1＝a1＋da1＝3a1a1＝3.【答案】C6．设a＞0，b＞0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为()A．8B．4C．1D.14【解析】由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1.因为a＞0，b＞0，所以1a＋1b＝1a＋1b(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4.当且仅当a＝b时，等号成立．【答案】B7．记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n(n－1)，则该数列是()A．公比为2的等比数列B．公比为12的等比数列C．公差为2的等差数列D．公差为4的等差数列【解析】由条件可得n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n(n－1)－2(n－1)(n－2)＝4(n－1)，当n＝1时，a1＝S1＝3，代入适合，故an＝4(n－1)，故数列{an}表示公差为4的等差数列．【答案】D8．在函数y＝f(x)的图象上有点列{xn，yn}，若数列{xn}是等差数列，数列{yn}是等比数列，则函数y＝f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝2x＋1B．f(x)＝4x2C．f(x)＝log3xD．f(x)＝34x【解析】结合选项，对于函数f(x)＝34x上的点列{xn，yn}，有yn＝34xn.由于{xn}是等差数列，所以xn＋1－xn＝d，因此yn＋1yn＝34xn＋134xn＝34xn＋1－xn＝34d，这是一个与n无关的常数，故{yn}是等比数列．【答案】D用心爱心专心39．已知函数f(x)＝x2－4x＋3，若实数x、y满足条件f(y)≤f(x)≤0，则yx的取值范围是()A.－∞，13∪[3，＋∞)B.13，3C.－3，－13D.13，1∪(1,3]【解析】由f(y)≤f(x)≤0可得即画出其表示的平面区域如图：表示阴影部分内的点(x，y)与原点连线的斜率，由图形可得的取值范围是.【答案】B10．设x，y满足约束条件3x－y－6≤0，x－y＋2≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则2a＋3b的最小值为()A.256B.83C.113D．4【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z(a＞0，b＞0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时，目标函数z=ax+by(a＞0，b＞0)取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而+=·=+≥+2=，故选A【答案】A11．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是()用心爱心专心4A．[－2，＋∞)B．(－∞－2)C．[－2,2]D．[0，＋∞)【解析】据已知可得a≥－|x|－1|x|＝－|x|＋1|x|，据基本不等式|x|＋1|x|≥2⇒－|x|＋1|x|≤－2，故若使原不等式恒成立，只需a≥－2即可．【答案】A12．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lgan，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}前n项和的最大值等于()A．126B．130C．132D．134【解析】由题意可知，lga3＝b3，lga6＝b6.又∵b3＝18，b6＝12，则a1q2＝1018，a1q5＝1012，∴q3＝10－6.即q＝10－2，∴a1＝1022.又∵{an}为正项等比数列，∴{bn}为等差数列，且d＝－2，b1＝22.故bn＝22＋(n－1)×(－2)＝－2n＋24.∴Sn＝22n＋n(n－1)2×(－2)＝－n2＋23n＝－n－2322＋5294.又∵n∈N，故n＝11或12时，(Sn)max＝132.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.【解析】设等比数列的公比为q，则由S6＝4S3知q≠1，∴S6＝1－q61－q＝4(1－q3)1－q.∴q3＝3.∴a1q3＝3.【答案】314．已知关于x的不等式ax－1x＋1＜0的解集是(－∞，－1)∪－12，＋∞，则a＝________.【解析】由于不等式ax－1x＋1＜0的解集是(－∞，－1)∪－12，＋∞，故－12应是ax－1＝0的根．∴a＝－2.【答案】－2用心爱心专心515．若不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立，则关于t的不等式a2t＋1＜at2＋2t－3的解集为________．【解析】由x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立得Δ＝4a2－4a＜0，即0＜a＜1，∴函数y＝ax是R上的减函数，∴2t＋1＞t2＋2t－3.解得－2＜t＜2.【答案】(－2,2)16．若⊗表示一种运算，且有如下表示：1⊗1＝2、m⊗n＝k、(m＋1)⊗n＝k－1、m⊗(n＋1)＝k＋2，则2009⊗2009＝________.【解析】由m⊗(n＋1)－m⊗n＝k＋2－k＝2，取m＝1，可得数列{1⊗n}是以1⊗1＝2为首项，以2为公差的等差数列，因此1⊗2009＝2＋(2009－1)×2＝4018.又由(m＋1)⊗n－m⊗n＝k－1－k＝－1，取n＝2009，得数列{m⊗2009}是以1⊗2007＝4018为首项，以－1为公差的等差数列，于是2009⊗2009＝4018＋(2009－1)×(－1)＝2010.【答案】2010三．解答题(本大题共6小题．共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，a2＝b1＝3，a5＝b2，a14＝b3，(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)令cn＝ban，求数列{cn}的前n项和Tn.【解析】(1)由条件得：3＋3d＝3q3＋12d＝3q2∴d＝2q＝3∴an＝2n－1，bn＝3n(2)由(1)得，∴cn＝ban＝b2n－1＝32n－1∵cn＋1cn＝32n＋132n－1＝9，c1＝3，所以{cn}是首项为3，公比为9的等比数列．∴Tn＝3(1－9n)1－9＝38(9n－1)18．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.(1)若函数f(x)有最大值178，求实数a的值；(2)解不等式f(x)＞1(a≥0)．【解析】(1)a≥0时不合题意，又f(x)＝ax＋12a2－1＋4a24a，用心爱心专心6当a＜0时，f(x)有最大值，且－1＋4a24a＝178，解得a＝－2或－18.(2)f(x)＞1，即ax2＋x－a＞1，(x－1)(ax＋a＋1)＞0，①当a＝0时，解得x＞1，即不等式的解集是{x|x＞1}；②当a＞0时，由(x－1)x＋1＋1a＞0，得x＞1或x＜－1－1a.∴不等式的解集是xx＞1或x＜－1－1a.19．(12分)在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}、{Bn}、{Cn}，其中An(n，an)、Bn(n，bn)、Cn(n－1,0)满足：向量AnAn＋1与BnCn→共线，且点列{Bn}在方向向量为(1,6)的直线上，a1＝a，b1＝－a.(1)试用a与n表示an(n≥2)；(2)若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围．【解析】(1)AnAn＋1＝(1，an＋1－an)，BnCn→＝(－1，－bn)．因为向量AnAn＋1与向量BnCn→共线，则an＋1－an－bn＝1－1，即an＋1－an＝bn.又{Bn}在方向向量为(1,6)的直线上，有bn＋1－bnn＋1－n＝6，即bn＋1－bn＝6.所以bn＝－a＋6(n－1)，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋b1＋b2＋…＋bn－1＝a＋3(n－1)(n－2)－a(n－1)＝3n2－(9＋a)n＋6＋2a(n≥2)．(2)二次函数f(x)＝3x2－(9＋a)x＋6＋2a是开口向上，对称轴为x＝a＋96拋物线．用心爱心专心7又∵在a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，故对称轴x＝a＋96在112，152内，即112＜a＋96＜152，∴24＜a＜36.20．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋4(a为非零实数)，设函数F(x)＝f(x)(x＞0)－f(x)(x＜0).(1)若f(－2)＝0，求F(x)的表达式；(2)设mn＜0，m＋n＞0，试判断F(m)＋F(n)能否大于0?【解析】(1)由f(－2)＝0,4a＋4＝0⇒a＝－1，∴F(x)＝－x2＋4(x＞0)x2－4(x＜0).(2)∵m·n＜0m＋n＞0.∴m，n一正一负．不妨设m＞0且n＜0，则m＞－n＞0，F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝am2＋4－(an2＋4)＝a(m2－n2)，当a＞0时，F(m)＋F(n)能大于0，当a＜0时，F(m)＋F(n)不能大于0.21．(12分)某高店代销某工厂生产的一种商品，利润按销售额的10%提成，经市场调查：若该商品以50元一个出售，则每月销售量1万个，若售价每提高2元，则销售量在上次的基础上下降三个百分点．设以售价为52元出售为第一次提价，以后每次提价都在原来的售价上提高2元．(1)求第n次提价的月销售额an；(2)要使商店的月利润最大，进行几次提价最好？【解析】(1)由题意知：第n次提价的单价为：50＋2n(n∈N＋)，第n次提价的销售量为1×(1－3%)n(n∈N＋)．∴第n次提价的月销售额an＝(50＋2n)×(1－3%)n＝(50＋2n)(97%)n(万元)．(2)月利润表示为：an·10%，要使得an·10%最大，只需an最大．则an≥an＋1⇒(50＋2n)(97%)n≥(52＋2n)(97%)n＋1an≥an－1⇒(50＋2n)(97%)n≥(48＋2n)(97%)n－1⇒223≤n≤253(n∈N＋)，∴当n＝8，即提价8次时月利润最大．用心爱心专心822．(12分)已知单调递增的等比数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝anlog12an，Sn＝b1＋b