(全国通用)2016高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式教师用书

1【创新设计】（全国通用）2016高考数学二轮复习专题一函数与导数、不等式教师用书第1讲函数图象与性质及函数与方程高考定位1.高考仍会以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、函数的最值与值域、函数的奇偶性、函数的单调性，或者综合考查函数的相关性质.2.对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理、数形结合思想，这是高考考查函数的零点与方程的根的基本方式.真题感悟1.(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A.y＝cosxB.y＝sinxC.y＝lnxD.y＝x2＋1解析由于y＝sinx是奇函数；y＝lnx是非奇非偶函数；y＝x2＋1是偶函数但没有零点；只有y＝cosx是偶函数又有零点.答案A2.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝1＋log2（2－x），x＜1，2x－1，x≥1，则f(－2)＋f(log212)＝()A.3B.6C.9D.12解析因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f(log212)＝2log212－1＝2log212×2－1＝12×12＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C.答案C3.(2015·北京卷)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A.{x|－1＜x≤0}B.{x|－1≤x≤1}2C.{x|－1＜x≤1}D.{x|－1＜x≤2}解析如图，由图知：f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1x≤1}.答案C4.(2015·山东卷)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________.解析当a＞1时，f(x)＝ax＋b在定义域上为增函数，∴a－1＋b＝－1，a0＋b＝0，方程组无解；当0＜a＜1时，f(x)＝ax＋b在定义域上为减函数，∴a－1＋b＝0，a0＋b＝－1，解得a＝12，b＝－2.∴a＋b＝－32.答案－32考点整合1.函数的性质(1)单调性：证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.可以用来比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性；(2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)；②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0；③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；(3)周期性：①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x－2a)＝f(x)(a＞0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数；②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数；③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数；④若f(x＋a)＝－f(x)或f（x＋a）＝1f（x），则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数.2.函数的图象对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.3.函数的零点与方程的根3(1)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标.(2)零点存在性定理注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.热点一函数性质的应用[微题型1]单一考查函数的奇偶性、单调性、对称性【例1－1】(1)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.(2)(2015·济南三模)已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是()A.1x2＋1＞1y2＋1B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C.sinx＞sinyD.x3＞y3(3)设f(x)＝2x＋2，x＜1，－ax＋6，x≥1(a∈R)的图象关于直线x＝1对称，则a的值为()A.－1B.1C.2D.3解析(1)f(x)为偶函数，则ln(x＋a＋x2)为奇函数，所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，即ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.(2)∵ax＜ay，0＜a＜1，∴x＞y，∴x3＞y3.(3)由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，得f(0)＝f(2)，即2＝－2a＋6，解得a＝2.故选C.答案(1)1(2)D(3)C探究提高第(3)小题将对称问题转化为点的对称，从而很容易地解决问题，本题也可借助于图象的斜率解决.[微题型2]综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性【例1－2】(1)(2015·湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A.奇函数，且在(0，1)上是增函数4B.奇函数，且在(0，1)上是减函数C.偶函数，且在(0，1)上是增函数D.偶函数，且在(0，1)上是减函数(2)(2015·长沙模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________.解析(1)易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln1＋x1－x＝ln－1－2x－1，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0，1)上是增函数，故选A.(2)∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称.又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)＞0，得－2＜x－1＜2，即－1＜x＜3.答案(1)A(2)(－1，3)探究提高函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.【训练1】(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜a＜bD.c＜b＜a解析因为函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数可知，m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23，∴log25＞|log0.53|＞0，∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)，故选C.答案C热点二函数图象与性质的融合问题[微题型1]函数图象的识别【例2－1】(1)(2015·安徽卷)函数f(x)＝ax＋b（x＋c）2的图象如图所示，则下列结论成立的是()5A.a0，b0，c0B.a0，b0，c0C.a0，b0，c0D.a0，b0，c0(2)(2014·江西卷)在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋a2与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是()解析(1)函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c＞0，∴c＜0；令x＝0，得f(0)＝bc2，又由图象知f(0)＞0，∴b＞0；令f(x)＝0，得x＝－ba，结合图象知－ba＞0，∴a＜0.故选C.(2)当a＝0时，两个函数的解析式分别为y＝－x，y＝x，故选项D中的图象是可能的.当a≠0时，二次函数y＝ax2－x＋a2的对称轴方程为x＝12a，三次函数y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的导数为y′＝3a2x2－4ax＋1＝(3ax－1)(ax－1)，令y′＝0，得其极值点为x1＝13a，x2＝1a.由于13a＜12a＜1a(a＞0)，或者13a＞12a＞1a(a＜0)，即三次函数的极值点在二次函数的对称轴两侧，选项A、C中的图象有可能，选项B中的图象不可能.答案(1)C(2)B探究提高识图时，可从图象与x轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.在探究两个函数的图象位置关系时，要善于根据函数解析式中字母的变化研究函数性质的变化，从而确定两个函数图象的可能位置关系.[微题型2]函数图象的应用【例2－2】(1)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，6[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A.c＞a＞bB.c＞b＞aC.a＞c＞bD.b＞a＞c(2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，则a的取值范围是()A.－32e，1B.－32e，34C.32e，34D.32e，1解析(1)由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f(x)的图象本身关于直线x＝1对称，所以a＝f－12＝f52，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b＞a＞c.选D.(2)设g(x)＝ex(2x－1)，y＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线y＝ax－a的下方，因为g′(x)＝ex(2x＋1)，所以当x－12时，g′(x)0，当x－12时，g′(x)0，所以当x＝－12时，[g(x)]min＝－2e－12，当x＝0时，g(0)＝－1，当x＝1时，g(1)＝e0，直线y＝a(x－1)恒过(1，0)，则满足题意的唯一整数x0＝0，故－ag(0)＝－1，且g(－1)＝－3e－1≥－a－a，解得32e≤a1，故选D.答案(1)D(2)D探究提高(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.7【训练2】(2015·成都诊断)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值解析由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图，而h(x)＝|f（x）|，|f（x）|≥g（x），－g（x），|f（x）|＜g（x），故h(x)有最小值－1，无最大值.答案C热点三以函数零点为背景的函数问题[微题型1]函数零点个数的求解【例3－1】函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是()A.0B.1C.2D.3解析法一函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数即函数y1＝2x－2与y2＝－x3的图象在区间(0，1)内的交点个数.作图，可知在(0，＋∞)内最多有一个交点，故排除C，D项；当x＝0时，y1＝－1＜y2＝0，当x＝1时，y1＝0＞y2＝－1，因此在区间(0，1)内一定会有一个交点，所以A项错误.选B.法二因为f(0)＝1＋0－2＝－1，f(1)＝2＋13－2＝1，所以f(0)·f(1)＜0.又函数f(x)在(0，1)内单调递增，所以f(x)在(0，1)内的零点个数是1.答案B探究提高在解决函数与方程问题中的函数的零点问题时，要学会掌握转化与化归思想的运用.如本题直接根据已知函数求函数的零点个数难度很大，也不是初等数学能轻易解决的，所以遇到此类问题的第一反应就是转化已知函数为熟悉的函数，再利用数形结合求解.[微题型2]由函