2010级清华大学多元微积分期中考题(A)

2010级多元微积分期中考题（A）系名班级姓名学号一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！）1.将定义在区间),0(上的函数xe展成周期为2的正弦级数，记)(xS为级数的和函数，则)0(S。2.yxxyxxx21lim0。3.设),(yxyxfz，其中)1(Cf，则dz。4.设yxz，则yxz2。5.方程eeyzxyyzln在)1,1,0(点附近确定隐函数),(yxzz，则xz。6.设)(),(xzzxyy为由方程组10222222czbyaxzyx确定的隐函数，zbyc22，则dxdy。7.函数32zyx在点)1,1,1(处沿方向0,53,54的方向导数为。8.函数22yx在点)2,1(处函数值增大最快的方向为。9.设sincoscoscosyx，则它的Jacobi矩阵的行列式),(),(detyx。10.参数曲面vuzuvyvuxsin,,在)0,1(),(vu处的切平面方程为。11.曲线222226yxzzyx在点)2,1,1(处的切线方程为。12.曲面2132222zyx在点)2,2,1(处的法线方程为。13.曲面xyzarctan在点4,1,1处的单位法向量为。14.M是曲线32,,tztytx上的一点，此点处切线平行于平面42zyx，则M点的坐标为。15.函数)cos(sin),(yyeyxfx在)0,0(点的带有Peano余项的二阶Taylor公式为。二．计算题（每题10分，共40分）1．求函数xxxxxf0,0,)(的Fourier级数，并求数项级数12)12(1nn的和。2．设)(),(2)2(RCvuf，),(yxzz为由方程）（zxfyx,确定的隐函数，求yxz2。3．设42),(yxyxf，研究),(yxf在)0,0(点的连续性、偏导数的存在性以及可微性（要说明理由）。4．求函数xyyxf),(在集合1)1(),(22yxyxD上的最大值和最小值。三．证明题1．(8分)设),,(zyxF有连续的一阶偏导数zFyFxF,,，并且满足0zFyFxxFy，其中为常数，证明),sin,cos(limtttFt。2．（7分）设0,0,,),(babyaxyxD，二元函数)()2(DCf，且在D内满足0,022222yxfyfxf，证明函数),(yxf的最大值和最小值只能在D的边界上取得。