立体几何证明平行的方法及专题训练(学生)

1立体几何证明平行的方法及专题训练立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。（2）利用三角形中位线的性质。（3）利用平行四边形的性质。（4）利用对应线段成比例。（5）利用面面平行的性质，等等。(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD；EFBACDP（第1题图）2DEB1A1C1CABFM分析：取DB的中点H，连GH,HC则易证FGHC是平行四边形3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D,E,F分别为AA1,CC1,AB的中点，M为BE的中点,AC⊥BE.求证：（Ⅰ）C1D⊥BC；（Ⅱ）C1D∥平面B1FM.分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是MF//EA4、如图所示,四棱锥PABCD底面是直角梯形,,,ADCDADBACD=2AB,E为PC的中点,证明://EBPAD平面;分析:：取PD的中点F，连EF,AF则易证ABEF是平行四边形FGGABCDECABDEF3(2)利用三角形中位线的性质5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG。分析：法一：连MD交GF于H，易证EH是△AMD的中位线法二：证平面EGF∥平面ABC，从而AM∥平面EFG6、如图，直三棱柱///ABCABC，90BAC，2,ABACAA′=1，点M，N分别为/AB和//BC的中点。7．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.求证：AB1//面BDC1；分析：连B1C交BC1于点E，易证ED是△B1AC的中位线ABCDEFGM48、如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.证明:BC1//平面A1CD;分析：此题与上面的是一样的，连结AC1与A1C交F,连结DF，则DF//BC19、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.利用平行四边形的性质10．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，求证：D1O//平面A1BC1;5PEDCBA11、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=21DC，中点为PDE.求证：AE∥平面PBC；12、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．利用对应线段成比例13、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，（1）SMAM=NDBN，求证：MN∥平面SDC（2）AMDNSMBN,求证：MN∥平面SBC6（6）利用面面平行15、如图，三棱锥ABCP中，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且2AFFP.求证：//CM平面BEF；16、如图,在直三棱柱111ABCABC中，3AC，4BC，5AB,14AA，点D是AB的中点，（1）求证：1ACBC；（2）求证：11CDB//平面AC；（3）求三棱锥11CCDB的体积。分析:取A1B1的中点E，连结C1E和AE，易证C1E∥CD,AE∥DB1，则平面AC1E∥DB1C,于是11CDB//平面AC7NMB1C1D1A1DCBA17在长方体1111ABCDABCD中,11,2ABBCAA,点M是BC的中点,点N是1AA的中点.(1)求证://MN平面1ACD;(2)过,,NCD三点的平面把长方体1111ABCDABCD截成两部分几何体,求所截成的两部分几何体的体积的比值.