2009首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷(数学类)

首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷（数学类，2009）考试形式：闭卷考试时间：120分钟满分：100分.一、（15分）求经过三平行直线1L:x=y=z，2L:x−1=y=z+1，3L:x=y+1=z−1的圆柱面的方程.二、（20分）设Cn×n是n×n复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空间,三、（15分）假设V是复数域C上n维线性空间（n0），f,g是V上的线性变换.如果fg−gf=f，证明：f的特征值都是0，且f,g有公共特征向量.七、（15分）假设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点A(0,f(0))，与点B(1,f(1))的直线与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c))，其中0c1.证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使f′′(ξ)=0.