2009年《随机过程》课程试卷答案及评分标准

北方工业大学试卷第1页共4页北方工业大学《随机过程》课程试卷参考答案及评分标准2009年秋季学期一、（共20分）设随机变量X服从几何分布()Gp，求（1）X的特征函数()gt；（2）利用特征函数计算X的数学期望及方差。解：（1）()()itXgtEe5分=11itkkkepq8分=11()itkitkqepe=1itititpepqeeq10分（2）由()(0)kkkgiEX得13分1(0)EXigp16分2221()(0)qEXigp18分222()qDXEXEXp20分二、（共20分）设随机过程tUtX2cos)(，其中U是随机变量，5)(UE，6)(UD。求此随机过程的（1）均值函数；（2）相关函数；（3）协方差函数；（4）方差函数。解：（1）)(tmX3分][2cosUtEt2cos55分（2）21212212cos2cos31)2cos2cos()]()([),(ttttUEtXtXEtsRX10分（3）)()(),(),(tmsmtsRtsBXXXX=)]()()(()([(2211tmtXtmtXE]2cos[)]([tUEtXE北方工业大学试卷第2页共4页]2cos)5(2cos)5[(21tUtUE])5[(2cos2cos221UEtt][2cos2cos21UDtt212cos2cos6tt16分（4）令ttt21得ttXD2cos6)]([220分三、（共20分）顾客到达某商店服从参数4人/小时的齐次泊松过程，已知商店上午9：00开门。试求（1）到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。（2）到9：30时仅到一位顾客，到11：30时总计已达5位顾客，而第六位顾客在12点前到达的概率。解：设)(tX表示在时间t时到达的顾客数（1）)5)5.2(,1)5.0((XXP)4)5.0()5.2(,1)5.0((XXXP)4)2(()1)5.0((XPXP5.041!1)5.04(e244!4)24(e0155.0………………………10分（2）所求概率为)1)5.2()3(,4)5.0()5.2(,1)5.0((XXXXXPp……………….12分)1)5.0(()4)2(()1)5.0((XPXPXP……………18分5.041!1)5.04(e244!4)24(e)1(5.04e…………………………20分四、（共20分）设马氏链{0,nXn}的状态空间I={1，2，3}，其一步转移矩阵为3231032031032311P（1）画出概率转移图；（2）讨论各状态的常返性及周期性；（3）求两步转移概率矩阵；（4）此链是否具有遍历性，若是求出平稳分布。解：（1）概率转移图略4分（2）该链的每一状态都可达另一状态，即：三个状态是相通的由上图可计算得(1)(2)2222()222240,,92122()()(3)9393kkkfffk8分北方工业大学试卷第3页共4页所以()222211kkff，各状态是常返的10分又()221kkkf，因而各状态是正常返、遍历的12分（3）两步转移概率矩阵2P329291949491949231.15分（4）对于一切Iji,，0)2(ijp，该马氏链具有遍历性1)3()2()1()3(32)2(32)3()3(31)1(32)2()2(31)1(31)1(，P))3(),2(),1(())3(),2(),1((71)1(，72)2(，74)3(所以马氏链的平稳分布为20分五、（共20分）设有两个随机过程tVtUtXsincos)(、tVtUtYcossin)(，t，其中U和V是均值都为零、方差都为2的不相关随机变量，试讨论它们的平稳性，并求互相关函数。解：因为0)()(VEUE，2)()(VDUD所以)]([)(tXEtmX]sincos[tVtUE=0)]([)(tYEtmY]sincos[tVtUE=0为常数X)(i123717274北方工业大学试卷第4页共4页且)(tX、)(tY是二阶矩过程)(tX的自相关函数),(ttRX)]()([tXtXE))(sin)(cos[(tVtUE)]sincos(tVtUttUEcos)(cos)(2ttVEsin)(sin)(2cos2同样可求得cos),(2ttRY故)(tX、)(tY都是平稳过程。)(tX、)(tY的互相关函数为)]()([)(tYtXEBXY))(sin)(cos[(tVtUE)]cossin(tVtUttsin)(cos(2)cos)(sinttsin2