2012高考数学名校全攻略专题训练第1部分专题5第3讲直线与圆锥曲线(文)

第一部分专题五第3讲直线与圆锥曲线（文科选用）(限时60分钟，满分100分)一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分)1．椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦点为F1、F2，两条准线与x轴的交点分别为M、N.若|MN|≤2|F1F2|，则该椭圆离心率的取值范围是()A.0，12B.0，22C.12，1D.22，1解析：因为两准线距离为2a2c，又因为|F1F2|＝2c，所以有2a2c≤4c，即a2≤2c2，所以22≤e1.答案：D2．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，AC＝2CB，则点C的轨迹是()A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线解析：设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9①又AC＝2CB，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，即a＝3x，b＝32y，代入①式整理可得：9x2＋94y2＝9.答案：C3．从抛物线y2＝8x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△PFM的面积为()A．56B．65C．102D．52解析：抛物线的焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2.设P(m，n)，则|PM|＝m＋2＝5，解得m＝3.代入抛物线方程得n2＝24，故|n|＝26，则S△PFM＝12|PM|·|n|＝12×5×26＝56.答案：A4．(精选考题·新课标全国卷)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为()A.x23－y26＝1B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1D.x25－y24＝1解析：设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：x21a2－y21b2＝1x22a2－y22b2＝1，两式作差得：y1－y2x1－x2＝b2x1＋x2a2y1＋y1＝－12b2－15a2＝4b25a2，又AB的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是x24－y25＝1.答案：B5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A．(1,2)B．(－1,2)C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：由题意知，双曲线的渐近线y＝bax的斜率需大于或等于3.即ba≥3.∴b2a2≥3，c2a2≥4，∴ca≥2，即e≥2.答案：D6．(2009·湖北高考)已知双曲线x22－y22＝1的准线过椭圆x24＋y2b2＝1的焦点，则直线y＝kx＋2与椭圆至多有一个交点的充要条件是()A．k∈[－12，12]B．k∈(－∞，－12]∪[12，＋∞)C．k∈[－22，22]D．k∈(－∞，－22]∪[22，＋∞)解析：由双曲线方程可知，其准线方程是x＝±1，所以椭圆焦点为(±1,0)，∴b2＝3.将椭圆方程与直线方程联立得：(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，因为至多有一个交点，∴Δ＝(16k)2－4×(3＋4k2)×4≤0，得－12≤k≤12.答案：A二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)7．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OA·OB等于________．解析：特值法：令A、B为(12，1)、(12，－1)，则OA·OB＝12×12＋1×(－1)＝－34.答案：－348．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)、B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．解析：(定义法)设抛物线焦点为F，过A、B、O作准线的垂线AA1、BB1、OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．答案：x24＋y23＝1(y≠0)9．过双曲线M：x2－y2b2＝1(b＞0)的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线相交于B、C两点，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率为________．解析：由题知左顶点A的坐标为(－1,0)，又直线l的斜率为1，可得直线l的方程为y＝x＋1.根据双曲线方程为x2－y2b2＝1(b＞0)得其渐近线方程为y＝±bx.因此交点为B(－1b＋1，bb＋1)，C(1b－1，bb－1)．根据|AB|＝|BC|知AC的中点为B.因此bb－1＝2bb＋1，解得b＝3(b＝0舍去)，故离心率e＝ca＝a2＋b2a＝1＋321＝10.答案：10三、解答题(本大题共3个小题，共46分)10．(本小题满分15分)(精选考题·辽宁六校联考)已知中心在原点，焦点在x轴上，离心率为255的椭圆的一个顶点是抛物线y＝14x2的焦点，过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴于点M，且MA＝λ1AF，MB＝λ2BF(1)求椭圆的方程；(2)证明：λ1＋λ2为定值．解：(1)由题易知b＝1，e＝1－ba2＝255，解得a2＝5，故椭圆的方程为x25＋y2＝1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，由F(2,0)，MA＝λ1AF，得x1＝2λ11＋λ1y1＝y01＋λ1.由MB＝λ2BF，得x2＝2λ21＋λ2y2＝y01＋λ2.又A、B在椭圆上，将其分别代入椭圆方程整理知，λ1，λ2是方程λ2＋10λ＋5－5y20＝0的两根，所以λ1＋λ2＝－10为定值．11．(本小题满分15分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝22，原点到过点A(0，－b)和B(a,0)的直线的距离为63.(1)求椭圆C的方程；(2)已知定点M(2,0)，若过点M的直线l(斜率不等于零)与椭圆C交于不同的两点E、F(E在M与F之间)，记λ＝S△OMES△OMF，求λ的取值范围．解：(1)由题知直线AB的方程为xa＋y－b＝1，即bx－ay－ab＝0.依题意，得ca＝22c2＝a2－b2aba2＋b2＝63，解得a＝2，b＝1，∴椭圆C的方程为x22＋y2＝1.(2)由题意知直线l的斜率存在且不为零，故可设l的方程为y＝k(x－2)，将l的方程代入椭圆方程x22＋y2＝1，整理得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－2＝0.由Δ＞0，得(－8k2)2－4(2k2＋1)(8k2－2)＞0，即2k2－1＜0，∴0＜k2＜12.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1＞x2，且x1＋x2＝8k22k2＋1x1x2＝8k2－22k2＋1，(*)由λ＝S△OMES△OMF，得λ＝|ME||MF|，由此可得ME＝λMF，则λ＝x1－2x2－2，且0＜λ＜1.由(*)知，(x1－2)＋(x2－2)＝－42k2＋1，(x1－2)·(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＝22k2＋1，∴λ1＋λ2＝x1－2x2－2x1＋x2－42＝2k2＋18，即k2＝4λ1＋λ2－12，∵0＜k2＜12，∴0＜4λ1＋λ2－12＜12，又∵0＜λ＜1，解得3－22＜λ＜1.即λ的取值范围是(3－22，1)．12．(本小题满分16分)(精选考题·广东惠州)已知点P是⊙O：x2＋y2＝9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足DQ＝23DP.(1)求动点Q的轨迹方程；(2)若点G(1,1)，则在动点Q的轨迹上是否存在不重合的两点M、N，使OG＝12(OM＋ON)(O是坐标原点)．若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设P(x0，y0)，Q(x，y)，依题意，则点D的坐标为(x0,0)，∴DQ＝(x－x0，y)，DP＝(0，y0)．又DQ＝23DP，∴x－x0＝0y＝23y0，即x0＝xy0＝32y.∵点P在⊙O上，∴x20＋y20＝9，∴x29＋y24＝1，∴点Q的轨迹方程为x29＋y24＝1.(2)假设x29＋y24＝1上存在不重合的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)使OG＝12(OM＋ON)，则G(1,1)是线段MN的中点，有x1＋x22＝1y1＋y22＝1，即x1＋x2＝2y1＋y2＝2.又M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆x29＋y24＝1上，∴x219＋y214＝1①x229＋y224＝1②，①－②，得x1－x2x1＋x29＋y1－y2y1＋y24＝0，∴kMN＝y1－y2x1－x2＝－49，∴直线MN的方程为4x＋9y－13＝0，∴椭圆上存在不重合的两点M、N，使OG＝12(OM＋ON)，此时直线MN的方程为4x＋9y－13＝0.1．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为()A．至多一个B．2C．1D．0解析：由直线和圆没有交点可得：4m2＋n2＞2，整理得m2＋n2＜4，故点P(m，n)必在椭圆内，故过该点的直线与椭圆必有两个公共点．答案：B2．已知双曲线kx2－y2＝1的一条渐近线与直线l：2x＋y＋1＝0垂直，则此双曲线的离心率是()A.52B.32C．43D.5解析：由题知，双曲线的渐近线方程为kx2－y2＝0，即y＝±kx.由题知直线l的斜率为－2，则可知k＝14，代入双曲线方程kx2－y2＝1，得x24－y2＝1，于是，a2＝4，b2＝1，从而c＝a2＋b2＝5，所以e＝52.答案：A3．(精选考题·福建质检)已知椭圆x24＋y2b2＝1(0＜b＜2)与y轴交于A、B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为()A．1B．2C．4D．8解析：不妨设点F的坐标为(4－b2，0)，而|AB|＝2b，∴S△ABF＝12×2b×4－b2＝b4－b2＝b24－b2≤b2＋4－b22＝2(当且仅当b2＝4－b2，即b2＝2时取等号)．故△ABF面积的最大值为2.答案：B4．已知过点P(－3,0)的直线l与双曲线x216－y29＝1交于A、B两点，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，弦AB的中点为M，OM的斜率为k2(O为坐标原点)，则k1·k2＝________.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点M的坐标是(x1＋x22，y1＋y22)，直线AB的斜率k1＝y2－y1x2－x1，直线OM的斜率k2＝y1＋y2x1＋x2，故k1·k2＝y22－y21x22－x21，又双曲线的方程为y2＝916(x2－16)，故y22－y21＝916(x22－x21)，故k1·k2＝916.答案：9165．(精选考题·全国卷Ⅱ)已知抛物线C：y2＝2px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若AM＝MB，则p＝________.解析：由题知准线l为x＝－p2(p0)，过M(1,0)且斜率为3的直线为y＝3(x－1)，则A(－p2，3(－p2－1))，设B(x0，y0)，由AM＝MB知M为AB的中点，又M(1，0)，所以－p2＋x0＝23－p2－1＋y0＝0即x0＝2＋p2y0＝3p2＋1，代入y2＝2px(p0)得，3(p2＋1)2＝2p(2＋p2)，整理得，p2＋4p－12＝0，解得p＝2或p＝－6(舍去)．答案：26．(精选考题·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点K(－1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.(1)证明：点F在直线BD上；(2)设FA·FB＝89，求△BDK的内切圆M的方程．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l的方程为x＝my－1(m≠0)．(1)证明：将x＝my－1代入y2＝4x