20141115培优等腰三角形的存在性

如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题；分类讨论。解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A．B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），在2011年的湖南湘潭市中考试卷中有这样一道题：如图一，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）。图一（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）略（2）∵，∴该抛物线的对称轴为x=1。设点Q坐标为（1，m），则，又。当AB=AQ时（即第一种情况，图五），，解得：，∴Q点坐标为（1，）或（1，）；当AB=BQ时（即第二种情况，图六），，解得：，∴Q点坐标为（1，0）或（1，6），又∵点（1，6）在直线上，∴点A、B、Q在同一直线，不成立，∴Q点坐标为（1，0）。当AQ=BQ时（即第三种情况，图七），，解得：，∴Q点坐标为（1，1）。∴抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，）、（1，）、（1，0）、（1，1），使△ABQ是等腰三角形。利用分类思想，通过直观作图，可以直接做出满足条件的所有的点，避免了思考不全面而出现漏解的现象，有效的解答了动点与等腰三角形为背景的综合性问题。(2009)23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.②共有三个时刻.…………………8分t1=163，t2=4013，t3=8525．…………………11分函数中的等腰三角形近年来，将等腰三角形和函数结合在一起的中考题经常出现，成为一个热点，本文对此特别归纳如下：1、直角坐标系与等腰三角形例1在直角坐标系xOy中，已知点A、C的坐标分别为A（－2，0），C（0，32），在坐标平面xOy内是否存在点M，使AC为等腰三角形ACM的一边，且底角为30°，若存在，请写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由。图1分析：已知点A、C的坐标，即△AOC确定。又AC=4，∠AOC=30°，∠CAO=60°由AC为等腰三角形ACM的一边知AC既可以是腰，又可以是底边。①当AC为等腰三角形的腰时，可求得M坐标：