2012新高考全案第2章函数与基本的初等函数第2讲函数的表示法及分段函数

第2章第2讲一、选择题1．(2010·湖北文数)已知函数f(x)＝log3x，x＞02x，x≤0，则f(f(19))＝()A．4B.14C．－4D．－14[解析]根据分段函数可得f(19)＝log319＝－2，则f(f(19))＝f(－2)＝2－2＝14.[答案]B2．已知函数f(x)＝log2x，x0，2x，x≤0.若f(a)＝12，则a＝()A．－1B.2C．－1或2D．1或－2[解析]由log2a＝12，得a＝2，又由2a＝12，得a＝log212＝－1，故选C.[答案]C3．已知x≠0，函数f(x)满足fx－1x＝x2＋1x2，则f(x)的表达式为()A．f(x)＝x＋1xB．f(x)＝x2＋2C．f(x)＝x2D．f(x)＝x－1x2[解析]fx－1x＝x2＋1x2－2＋2＝x－1x2＋2.∴f(x)＝x2＋2.故选B.[答案]B4．(2009·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝log24－x，x≤0，fx－1－fx－2，x＞0，则f(3)的值为()A．－1B．－2C．1D．2[解析]∵f(3)＝f(2)－f(1)，又f(2)＝f(1)－f(0)，∴f(3)＝－f(0)．∵f(0)＝log24＝2，∴f(3)＝－2.[答案]B5．已知函数f(x)的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f(f(13))＝()A．－13B.13C．－23D.23[解析]由图象知f(x)＝x＋1－1＜x＜0x－10＜x＜1∴f(13)＝13－1＝－23，∴f(f(13))＝f(－23)＝－23＋1＝13.[答案]B6．设函数f(x)＝x2＋bx＋cx≤0，2x＞0.若f(－4)＝0，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为()A．1B．2C．3D．4[解析]∵16－4b＋c＝04－2b＋c＝－2，∴b＝5c＝4，∴f(x)＝x2＋5x＋4x≤0，2x＞0当x≤0时，方程为x2＋5x＋4＝x，即x2＋4x＋4＝0，∴x＝－2.当x＞0时，方程为x＝2∴方程f(x)＝x有两个解，故选B.[答案]B二、填空题7．若函数f(2x＋1)＝x2－2x，则f(3)＝________.[解析]令2x＋1＝3，x＝1，f(3)＝f(2x＋1)＝x2－2x＝－1.[答案]－18．已知函数f(x)＝x2＋|x－2|，则f(1)＝________.[解析]f(1)＝12＋|1－2|＝2.[答案]29．设函数f(x)＝ln(－x2＋x)，则f(x)的定义域是________．[答案](0,1)10．(2011·广州一模)已知函数f(x)满足f(1)＝2，且对任意x，y∈R都有f(x－y)＝fxfy，记i＝1nai＝a1·a2·…·an，则i＝110f(6－i)的值为________．[解析]由f(n－1)＝fnf1，得f(n)＝f(1)f(n－1)＝2f(n－1)＝22f(n－2)＝23f(n－3)＝…＝2n－1f(1)＝2ni＝110f(6－i)＝f6f1·f6f2·f6f3·…·f6f10＝262·2622·2623·…·26210＝210×6－(1＋2＋…＋10)＝25＝32.[答案]32三、解答题11．(1)已知f(2x＋1)＝lgx，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足：2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．[解](1)令t＝2x＋1，则x＝2t－1∴f(t)＝lg2t－1，即f(x)＝lg2x－1.(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1∴2a＋b＝b＋1a＋b＝1解得a＝b＝12∴f(x)＝12x2＋12x(3)x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)①以－x代入x时，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)②由①、②消去f(－x)得：f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1)12．函数y＝f(x)具有性质：①对于一切实数x，都有f(x)＋f(x－2)＝0成立；②当x∈(1,3]时，函数的图象是斜率为2，纵截距为－3的直线段．(1)当x∈(3,5]时，求f(x)的表达式；(2)当x∈(－1,1]时，求f(x)的表达式．[解]依题意，当x∈(1,3]时，f(x)＝2x－3.(1)当x∈(3,5]时，(x－2)∈(1,3]，f(x－2)＝2(x－2)－3＝2x－7，所以f(x)＝－f(x－2)＝－2x＋7为所求．(2)当x∈(－1,1]时，(x＋2)∈(1,3]．f(x＋2)＝2(x＋2)－3＝2x＋1.由f(x)＋f(x－2)＝0得f(x＋2)＝－f[(x＋2)－2]＝－f(x)．所以f(x)＝－f(x＋2)＝－(2x＋1)＝－2x－1为所求．亲爱的同学请写上你的学习心得