2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第7章检测题

第七章直线和圆的方程名师检测题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．将圆x2＋y2＝1按向量a＝(2，－1)平移后，恰好与直线x－y＋b＝0相切，则实数b的值为()A．3±2B．－3±2C．2±2D．－2±2解析：∵将圆x2＋y2＝1按向量a＝(2，－1)平移后，圆心(0,0)平移到点(2，－1)，此时平移后的圆恰好与直线x－y＋b＝0相切，则圆心到直线的距离等于半径，即d＝|2－－1＋b|2＝1＝r，解得b＝－3±2，故选B.答案：B2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()A.13B．－13C．－32D.23解析：依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有a＋7＝2b＋1＝－2，解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为－3－17＋5＝－13，选B.答案：B3．已知点A(－2,0)，B(0,2)，C是曲线x＝1＋cosθy＝sinθ(θ∈R)上任意一点，则△ABC的面积的最小值等于()A.3－22B．3＋2C．3D．3－2解析：直线AB：y＝x＋2，点C在圆(x－1)2＋y2＝1上，圆心(1,0)到直线AB的距离为322，|AB|＝22，点C到直线AB的距离的最小值为322－1，∴(S△ABC)min＝12×22×322－1＝3－2，故选D.答案：D4．已知圆M：(x－4)2＋(y－3)2＝25，过圆M内定点P(2,1)作两条相互垂直的弦AC和BD，那么四边形ABCD的面积最大值为()A．21B．213C.212D．42解析：当直线AC、BD中有一条直线斜率为0时，不妨设直线AC的斜率为0，易知此时|AC|＝|BD|＝221，S四边形ABCD＝12·|AC|·|BD|＝42(对于此题来说，至此再结合选项可知，选D)．当直线AC、BD的斜率均不为0时，设直线AC的斜率为k(k≠0)，则直线AC的方程是y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，此时圆心M(4,3)到直线AC的距离等于|2k－2|k2＋1，|AC|＝225－|2k－2|k2＋12＝221＋8kk2＋1，同理|BD|＝225－|2×－1k－2|－1k2＋12＝221－8kk2＋1，S四边形ABCD＝12·|AC|·|BD|＝2212－64k2k2＋1242.综上所述，四边形ABCD的面积最大值是42，选D.答案：D5．将直线l1：y＝2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x＋2y－3＝0的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：记直线l1的斜率为k1，直线l3的斜率为k3，注意到k1k3＝－1，l1⊥l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l2到直线l3的角是30°，选A.答案：A6．圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆M的方程为(x－2－5cosθ)2＋(y－5sinθ)2＝1(θ∈R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F.则PE→·PF→的最小值是()A．12B．10C．6D．5解析：显然圆C是一个以(2,0)为圆心，2为半径的圆；设圆M的圆心为(x，y)，则x＝2＋5cosθy＝5sinθ，即(x－2)2＋y2＝25，显然，圆M的圆心在一个以(2,0)为圆心，5为半径的圆上运动，这类似于一个地球绕着太阳转的模型，显然当点P距离点C最近时，PE→·PF→最小．在圆(x－2)2＋y2＝25上取一点(2,5)，以点(2,5)为圆心作圆M，此时圆M上距离点C最近的点为P(2,4)，连结PE、PF、CE、CF，∵PE、PF是圆C的切线，∴PE⊥CE，PF⊥CF；又∵PC＝4，CE＝CF＝2，∴PE＝PF＝12；在△CPE中，cos∠CPE＝124，∴cos∠FPE＝cos2∠CPE＝2×1242－1＝12；∴PE→·PF→＝|PE→|·|PF→|cos∠FPE＝12×12×12＝6；类似地，当点M在圆(x－2)2＋y2＝25上运动时有同样的结论．故选C.答案：C7．已知A为xOy平面内的一个区域．甲：点(a，b)∈{(x，y)|x－y＋2≤0x≥03x＋y－6≤0}；乙：点(a，b)∈A.如果甲是乙的必要条件，那么区域A的面积()A．最小值为2B．无最大值C．最大值为2D．最大值为1解析：如图，作出不等式组x－y＋2≤0x≥03x＋y－6≤0所表示的平面区域，记作B.∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲，∴(a，b)∈A⇒(a，b)∈B，即区域A内的点都在区域B内，而SB＝12×4×1＝2，∴SA≤2，即SA的最大值为2，故选C.答案：C8．(2011·济南模拟)已知变量x，y满足约束条件x＋y≥2x－y≤20≤y≤3，若目标函数z＝y－ax仅在点(5,3)处取得最小值，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．(－∞，1)C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)解析：点(5,3)为直线y＝3和直线x－y＝2的交点，通过绘制可行域，观察直线z＝y－ax绕点(5,3)旋转，易得该直线的斜率即a的取值范围为(1，＋∞)．答案：A9．设O是坐标原点，点M的坐标为(2,1)．若点N(x，y)满足不等式组x－4y＋3≤02x＋y－12≤0，x≥1则使得OM→·ON→取得最大值时点N的个数为()A．1个B．2个C．3个D．无数个解析：作出可行域为如图所示的△ABC，令z＝OM→·ON→＝2x＋y.∵其斜率k＝－2＝kBC，∴z＝OM→·ON→＝2x＋y与线段BC所在的直线重合时取得最大值，所以满足条件的点N有无数个，故选D.答案：D10．已知O为直角坐标系原点，P、Q两点的坐标均满足不等式组4x＋3y－25≤0x－2y＋2≤0，x－1≥0则tan∠POQ的最大值等于()A.12B．1C.32D．0解析：作出可行域，则P、Q在图中所示的位置时，∠POQ最大，即tan∠POQ＝tan(∠POM－∠QOM)＝tan∠POM－tan∠QOM1＋tan∠POM·tan∠QOM＝7－341＋7×34＝1，所以最大值为1，选B.答案：B11．已知两个不相等的实数a、b满足以下关系式：a2·sinθ＋a·cosθ－π4＝0，b2·sinθ＋b·cosθ－π4＝0，则连接A(a2，a)、B(b2，b)两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不能确定解析：依题意得，点A，B均在直线xsinθ＋ycosθ－π4＝0上，即直线AB的方程是xsinθ＋ycosθ－π4＝0，注意到原点到该直线的距离为d＝π41，因此选B.答案：B12．已知关于x的方程x3＋ax2＋bx＋c＝0的三个实根可作为一个椭圆，一个双曲线，一个抛物线的离心率，则b－1a＋1的取值范围是()A．(－2,0)B．(0,2)C．(－1,0)D．(0,1)解析：依题意，方程x3＋ax2＋bx＋c＝0必有三根0x11，x21，x3＝1，所以c＝－(a＋b)－1，则f(x)＝x3＋ax2＋bx－(a＋b)－1＝(x－1)[x2＋(a＋1)x＋a＋b＋1]，因此，0x11，x21是方程g(x)＝x2＋(a＋1)x＋a＋b＋1＝0的两根，因此g0＝a＋b＋10g1＝2a＋b＋30，作出此不等式组对应的可行域，如图，b－1a＋1表示可行域内的点与点(－1,1)连线的斜率k，因为a＋b＋1＝0与2a＋b＋3＝0交点为(－2,1)，所以由图易知－2k0，选择A.答案：A第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．设x，y满足约束条件2x－y＋2≥0，8x－y－4≤0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝abx＋y(a0，b0)的最大值为8，则a＋b的最小值为________．解析：原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z＝abx＋y(a0，b0)过直线2x－y＋2＝0与直线8x－y－4＝0的交点(1,4)时，目标函数z＝abx＋y(a0，b0)取得最大值8，即8＝ab＋4，ab＝4，∴a＋b≥2ab＝4.答案：414．直线y＝2x＋m和圆x2＋y2＝1交于A、B两点，以Ox为始边，OA、OB为终边的角分别为α、β，则sin(α＋β)的值为________．解析：设AB的倾斜角为θ，AB的中点为C，AB与x轴的交点为D，则tanθ＝2，∠xOC＝α＋β2，(π－∠xOC)＋θ＝π2，即α＋β2＝π2＋θ，α＋β＝π＋2θ，所以sin(α＋β)＝－sin2θ＝－2sinθcosθ＝－2tanθ1＋tan2θ＝－45.答案：－4515．过原点O作一条倾斜角为15°的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4相交于两点M、N，则OM→·ON→＝________.解析：设圆C与x轴交于E，F两点，依题意得原点O位于圆内，向量OM→、ON→反向共线，则OM→·ON→＝－|OM|·|ON|，由相交弦定理得|OM|·|ON|＝|OE|·|OF|.又|OE|·|OF|＝(2－|OC|)(2＋|OC|)＝4－|OC|2＝3，因此OM→·ON→＝－|OM|·|ON|＝－3.答案：－3点评：有关圆的问题，常常需要借助有关圆的性质将问题转化，否则计算可能会比较复杂．16．在平面直角坐标系xOy中，已知集合A＝{(x，y)|x－y≤2，x≥0，y≤0}，则集合B＝{(2x＋y，x－2y)|(x，y)∈A}表示的平面区域的面积为________．解析：设x′＝2x＋yy′＝x－2y，则x＝2x′＋y′5y＝x′－2y′5，代入集合A中需要满足的不等式组为x′＋3y′≤102x′＋y′≥0x′－2y′≤0，则此不等式组表示的平面区域即为集合B，作出图象可知，可行域即为以(0,0)，(－2,4)，(4,2)为顶点的三角形，则其面积为10.答案：10三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程．(3)过N(－2,0)作圆P与ABCD外接圆外切，求圆心P的轨迹方程．解析：(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.又因为点T(－1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.(2)由x－3y－6＝03x＋y＋2＝0解得点A的坐标为(0，－2)，因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．又|AM|＝2－02＋0＋22＝22，从而矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(3)因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以|PM|＝|PN|＋22，即|PM|－|PN|＝22.故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为22的双曲线的左支．因为实半轴长a＝2，半焦距c＝2，所以虚半轴长b＝c2－a2＝2.从而动圆P的圆心的轨迹方程为x22－y22＝1(x≤－2)．18．(本小题满分12分)如图，已知圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝a2和直线l：3x＋4y＋3＝0，若圆C上有且仅有两个点到l的距离等于1，求a的取值范围．解析：设与l平行且到l距离为1的直线为：3x＋4y＋c＝0，则|c－3|52＝1，∴c＝－2或c＝8.由已知|3a＋4a－2|5|a|或|3a＋4a＋8|5|a|，整理得|7a－2|5|a|或|7a＋8|5|a|，即6a2－7a＋10或