2015年全国大学生数学建模竞赛优秀论文

1基于非线性曲线拟合的经纬度测量方法摘要本文首先基于天体物理学知识，构造出地球上某处直杆的影长与时间的函数关系式；然后运用非线性曲线拟合的方法，求解缺省参数，再根据直杆影长的变化规律，推算出测量点的地理位置及所处的日期。在问题一中，本文以北京时间为参考时间，对地球上某一点处直杆影长的影响因素进行分析，发现其与直杆所处纬度、太阳直射点处纬度、所处时刻及经度等因素有关，结合地理知识构造出影长与影响因素的函数关系式。在各项参数均已给定的情况下，即可作出题目所要求的影长-时间变化曲线。对于问题二，本文由附件1给定的时刻及其影长，运用非线性曲线拟合的方法，利用问题一中建立的关系式，将时间与影长作为已知参数，利用lsqcurvefit函数拟合求解经纬度参数。联系实际，筛选出可能的4个位置，并认为海南省白沙黎族自治县是最有可能的地点。问题三与问题二基本相似，本文仍然在附件所得的数据基础上进行lsqcurvefit非线性曲线拟合，得到经度、纬度以及赤纬的可行解，根据所求赤纬，通过查表可以得到可能的日期。由附件2得到3个可能的地点与6个可能的日期，并认为其中新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县是最有可能的地点，5月24日或7月20日是最有可能的日期；由附件3同样得到3个可能的地点与6个可能的日期，认为湖北省十堰市郧西县与陕西省商洛市山阳县均是可能的地点，可能的日期为2月6日或11月6日前后。对于问题四，首先用MATLAB进行图像处理并得到等时间间隔的图片，然后经过筛选得到21张图片。经滤镜处理后，由所得帧的图像得到影长与杆长的比例关系，进而得到不同时刻下的影长。在日期已知的情况下，问题四应用非线性拟合函数fit得到可行解，筛选后得到最可能地点为内蒙古自治区乌兰察布市丰镇市；若未给日期条件，在本题上一问的基础上，将太阳赤纬设为未知，利用fit函数求出可行解，经筛选得到最可能的地点为内蒙古自治区乌兰察布市，日期为6月6日或7月8日，与准确日期相差无几。本文通过误差分析，证明本文所得结果具有很高的可信度。关键词：非线性曲线拟合测量经纬度2一、问题重述如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4.附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？二、问题分析1.对于问题一，依据地理学知识，直杆的影长与直杆长度以及太阳高度角有关，而太阳高度角又与赤纬、直杆所处纬度、测量时刻等参数有关。考虑到附件所给时间为北京时间，还应考虑经度带来的时差影响。基于以上考虑，构造出直杆的影长与赤纬、所处经度和纬度以及时刻之间的函数关系式，进而将题目所给参数代入关系式中，即可作出在给定时间天安门广场上给定直杆的影长随时间的变化曲线。2.对于问题二，若想得到可能的地点，关键就在于得到直杆所处位置的经纬度坐标。由所给附件可以得到影长随时间的变化关系，因此可以代入问题一种建立的模型，通过最小二乘法迭代的方法估计出参数的可能取值，即直杆可能位置的经纬坐标。3.对于问题三，仅是在问题二的基础上增多了日期这一未知量。这一未知量可以通过赤纬与日期对应表查询，因此同第二问一样，可以由附件得到影长随时间的变化关系，利用最小二乘法迭代估计出经纬度、赤纬三个参数可能取值，从而给出可能的地点和日期。4.对于问题四，通过MATLAB导入视频，并等时间间距地21张截图。在经过滤镜处理后，可以由截图得到影长与杆长的比例关系，从而得到不同时间下的影长。在日期已知的情况下，问题可以利用问题二的模型；若日期未知，则可以利用问题三的模型，得到所求参量。3三、模型假设1.地球是半径为R的均匀圆球，即忽略其表面地形及地球微小的椭球率带来的影响；2.忽略太阳光在穿过地球大气层时产生的折射；3.照射到地球的太阳光为平行光；4.黄赤交角为一固定值。四、符号约定0太阳直射点纬度测量点的纬度l测量点的经度a测量点的时角1e太阳直射方向向量2e地心指向测量点的方向向量h太阳高度0L直杆长L影长t测量点地方时0t测量点地方时对应的北京时间五、模型建立与求解（一）问题一根据假设1，以如图所示的方式建立空间直角坐标系[1]。其中，以地心为坐标原点，垂直于赤道平面指向正北的轴为z轴，沿赤道平面指向太阳方向的轴为x轴，与二者成左手关系的轴为y轴。假定此时太阳直射点为地球上一点A，设其纬度为0（北纬为正，南纬为负，以下涉及纬度符号均同理）。显然，由于x轴指向太阳方向，因此直射点A位于oxz平面内。设此时刻太阳直射方向为1e。设测量点纬度为，其时角[2]为a，其与地心构成的向量为2e。4φ0e1xzyAφae2赤道观测点R图一模型推导示意图根据以上设定，有100(coscos,0,sin)aeRR2(coscos,cossin,sin)aaeRRR可求得1e与2e之间的空间的余弦值为120012coscoscoscossinsin||||aeeee（1）根据太阳高度角h的定义，有2h，因此可得00sinhcoscoscossinsina（2）由图二所示的示意图可得，影长、直杆长之间存在关系0tanhLL（3）5h直杆长L0影长L阳光图二影长、杆长与太阳高度的关系在上述推导中，时角(12)12at，其中t为测量点地方时。考虑到附录中所给时间均为北京时间，因此此处统一将地方时转化为北京时间表示。设测量点经度为l，为方便起见，不妨假设测量点在北京所在的东八区的中间经线（120°E）以东，因此二者之间经度差为120ll由于地球每自转24h便转过360°，因此近似可认为经度上每度引起的时差为4min，由前可知测量点在120°E以东，因此测量点地方时与东八区区时有如下关系0(120)15ltt因此0(120)121512alt（4）其中0t为测量点地方时t对应的北京时间。联立式（2）、（3）、（4），可得地球上某一点处直杆的影长与北京时间的函数关系式20000000(120)coscoscos12sinsin11512(120)coscoscos12sinsin1512ltLLlt（5）查表[3]可知2015年10月22日太阳直射点010.833，并将已知条件03Lm，639.9072，116.3914lE，使用MATLAB即可作出题目给定时间内天安门广场上3m长的直杆的影长变化曲线，如图三所示。图三问题一所求曲线（二）问题二由附件可以得到测量点直杆的影长与北京时间的对应数据，可以在问题一所得到的模型的基础上，将待求的经、纬度坐标以及杆长看作为模型的参数，调用MATLAB中lsqcurvefit[4]函数，通过迭代的方法实现最小二乘拟合，得到参数的估计值。Lsqcurvefit函数是进行最小二乘非线性曲线拟合的函数，设定初始迭代起点进行拟合求最优解。为了更快得到最优解，将迭代起点选择为期望值附近（但并未限定所求解的范围），即杆长期望在0至3米之间，经度位于-180°至180°之间，纬度的正弦值位于-1到1之间。求解完成后，基于以下原则，在MATLAB返回的可行解当中进行了初步的筛选：1.所有参数均应为纯实数，即虚部应等于零；2.出于实际考虑，要求杆长均大于0.5m；3.参数完全重复的或相当接近的，取其中拟合程度最佳的一组参数。由附件1得到的数据见下表（时间已化为十进制）：北京时间（时）影长（m）14.71.14962582614.751.18219897614.81.215296955714.851.24905105214.91.2831953414.951.317993149151.35336404915.051.38938709115.11.42615285615.151.46339985315.21.50148162215.251.54023181715.31.57985331615.351.62014451515.41.66127061315.451.70329063315.51.7462059115.551.79005091515.61.83501427215.651.88087500115.71.927918447表一由附件1计算得到的北京时间与对应影长具体程序见附录，在代入由附件1得到的数据之后，直接得到的可行解如下：杆长（m）纬度经度出现次数1.993718.98109.35302.1479-3.0152104.326………2.2523-3.6179102.662.473423.369101.9812.625424.18599.89212.79424.81997.75734………2.795324.82397.74表二附件1数据第一次迭代后的结果由表格可以看到某些解出现的次数不止一次，这是因为不同点起点得到相同的结果，说明该结果可能为最优解。由表格知（98°N，109.35°E）在可行解中出现的频率极高，说明其可信度相对于其他解要更高；而在（23.369°~24.823°N，101.98°~97.74°E）这一范围中，尽管每组解出现的次数不高，但是可以发现这些数据分布相当密集，因此可以看做是同一个地点；（3.0152°~3.6179°S，8104.32~102.66°E）范围之间的解同理，但是由于其出现次数较少，显然其可信度不及另两组解。为了增强以上结果的可信度，现改变迭代起点进行第二次拟合。在这一次拟合中，将迭代起点设置偏离期望值。得到的结果如下表所示：杆长（m）纬度经度出现次数1.993718.98109.349411.5114-2.6700114.79801表三附件1数据第二次迭代后的结果（18.98°N，109.35°E）这一组解再次出现，证明了这一组解得可信度确实相当高。将以上得到的可能解汇总，并确定具体的地点如下：编号杆长（m）纬度经度具体地点11.993718.98109.3494海南省白沙黎族自治县22.794524.82197.75云南省德宏傣族景颇族自治州盈江县32.2523-3.6179102.66印度尼西亚SinarGunungTebatKaraiKepahiangRegency41.5114-2.6700114.7980印度尼西亚AsiaBaruKuripanBaritoKualaRegency表四问题二可能的地点分别对得到的四组解进行误差可视化和再次拟合，图像如下（从上到下依次为编号1、2、3、4的解）：9图四问题二所有可能解的拟合及误差误差图显示拟合值与真实值之间的误差均为10-3级别，这再一次证明了解的可信度。这是基于本模型得到的四个可能的地点。考虑到迭代过程中出现次数悬殊较大，有理由相信海南省白沙黎族自治县（18.98°N，109.3494°E）是最有可能的地点，而其他三个地点可能性相对较小。（三）问题三第三问在第二问的基础上又增添了日期这个未知参数。由于日期与赤纬存在一定的对应关系，同第二问思路相同，我们将赤纬作为另一