2014届高考数学一轮专题复习高效测试20正弦定理与余弦定理新人教A版

1高效测试20：正弦定理与余弦定理一、选择题1．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC一定是()A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形解析：方法一：由已知结合正、余弦定理得2·a2＋c2－b22ac·a2R＝c2R，整理得a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC一定是等腰三角形．方法二：∵sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴由已知得sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，又A－B∈(－π，π)，∴A－B＝0，即A＝B.∴△ABC为等腰三角形．答案：B2．满足A＝45°，c＝6，a＝2的△ABC的个数记为m，则am的值为()A．4B．2C．1D．不确定解析：由正弦定理asinA＝csinC，得sinC＝csinAa＝6×222＝32.∵c＞a，∴C＞A＝45°，∴C＝60°或120°，∴满足条件的三角形有2个，即m＝2.∴am＝4.答案：A3．在△ABC中，若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．顶角为120°的等腰三角形D．以上均不正确解析：由已知条件及正弦定理，得tanA＝tanB＝tanC，又0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π，故A＝B＝C，所以△ABC为等边三角形，故答案为B.答案：B4．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinBsinC的值为()A.85B.58C.53D.35解析：由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即72＝52＋AC2－10AC·cos120°，∴AC＝3.由正弦定理得sinBsinC＝ACAB＝35.答案：D5．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且面积S△ABC＝14(b2＋c2－a2)，则A等于()2A．45°B．30°C．120°D．15°解析：由S△ABC＝14(b2＋c2－a2)＝12bcsinA得sinA＝b2＋c2－a22bc＝cosA，∴A＝45°.答案：A6．若△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则BC边的长是()A．5B．6C．7D．8解析：依题意及面积公式S＝12bcsinA，得103＝12bcsin60°，得bc＝40.又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.故答案为C.答案：C二、填空题7．在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则角C＝__________.解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12.又∵0°＜C＜180°，∴C＝60°.答案：60°8．在△ABC中，BC＝2，B＝π3，若△ABC的面积为32，则tanC为__________．解析：由S△ABC＝12BC·BAsinB＝32得BA＝1，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcosB，∴AC＝3，∴△ABC为直角三角形，其中A为直角，∴tanC＝ABAC＝33.答案：339．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S＝14(a2＋b2－c2)，则C＝__________.解析：由S＝14(a2＋b2－c2)得12absinC＝14·2abcosC.∴tanC＝1.∴C＝π4.答案：π4三、解答题10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，并且a2＝b(b＋c)．(1)求证：A＝2B；(2)若a＝3b，判断△ABC的形状．[中学教考网]解析：(1)证明：因为a2＝b(b＋c)，即a2＝b2＋bc，所以在△ABC中，由余弦定理可得，3cosB＝a2＋c2－b22ac＝c2＋bc2ac＝b＋c2a＝a22ab＝a2b＝sinA2sinB，所以sinA＝sin2B，故A＝2B.(2)因为a＝3b，所以ab＝3，由a2＝b(b＋c)可得c＝2b，cosB＝a2＋c2－b22ac＝3b2＋4b2－b243b2＝32所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°.所以△ABC为直角三角形．11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanC＝37.(1)求cosC；(2)若CB→·CA→＝52，且a＋b＝9，求c.解析：(1)∵tanC＝37，∴sinCcosC＝37，又∵sin2C＋cos2C＝1解得cosC＝±18.∵tanC＞0，∴C是锐角．∴cosC＝18.(2)∵CB→·CA→＝52，∴abcosC＝52，∴ab＝20.又∵a＋b＝9，∴a2＋2ab＋b2＝81.∴a2＋b2＝41.∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝36.∴c＝6.12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sinC2.(1)求sinC的值；(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．解析：(1)由已知得sinC＋sinC2＝1－cosC，∴sinC22cosC2＋1＝2sin2C2.由sinC2≠0，得2cosC2＋1＝2sinC2，∴sinC2－cosC2＝12.两边平方，得1－sinC＝14，∴sinC＝34.(2)由sinC2－cosC2＝12＞0，得π4＜C2＜π2，即π2＜C＜π，则由sinC＝34得cosC＝－74.由a2＋b2＝4(a＋b)－8得(a－2)2＋(b－2)2＝0，则a＝2，b＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2bccosC＝8＋27，所以c＝7＋1.