2014届高三数学一轮复习《两角和与差的正弦余弦和正切公式》理

[第21讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．在△ABC中，如果sinA＝3sinC，B＝30°，那么角A等于()A．30°B．45°C．60°D．120°2．已知sinθ＝45，且sinθ－cosθ1，则sin2θ＝()A．－2425B．－1225C．－45D.24253．[2013·河南师大附中检测]已知πθ32π，则12＋1212＋12cosθ＝________．4．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．能力提升5．已知sin2α＝35π22απ，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)＝()A．－2B．－1C．－211D.2116．若α∈0，π2，且sin2α＋cos2α＝14，则tanα的值等于()A.22B.33C.2D.37．在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝233，则tanAtanB的值为()A.14B.13C.12D.538．[2013·北京石景山区一模]已知α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－35，则tan2α的值为()A.45B．－237C．－247D．－839．若sin2α＝2425，0απ2，则2cosπ4－α的值为()A.15B．－15C.75D．±1510．[2013·河南重点高中调研]函数f(x)＝sin2x＋12010sin2xcos2x＋12010cos2x的最小值是________．11．已知tan2θ＝34π2θπ，则2cos2θ2＋sinθ－12cosθ＋π4的值为________．12．若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α的值为________．.13．若tanα＝lg(10a)，tanβ＝lg1a，且α＋β＝π4，则实数a的值为________．14．(10分)[2013·广东卷]已知函数f(x)＝2cosωx＋π6(其中ω0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈0，π2，f5α＋53π＝－65，f5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．15．(13分)[2013·安阳模拟]设向量a＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))，b＝(cos(α－β)，sin(α－β))，且a＋b＝45，35.(1)求tanα；(2)求2cos2α2－3sinα－12sinα＋π4.难点突破16．(12分)[2013·福建卷]某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．课时作业(二十一)【基础热身】1．D[解析]∵△ABC中，B＝30°，∴C＝150°－A，∴sinA＝3sin(150°－A)＝32cosA＋32sinA，∴tanA＝－3，∴A＝120°.2．A[解析]由题意可知cosθ＝－35，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－2425，故选择A.3．sinθ4[解析]∵πθ3π2，∴π2θ23π4，π4θ43π8.12＋1212＋12cosθ＝12＋12cos2θ2＝12－12cosθ2＝sinθ4.4．1－2[解析]y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π4＋1≥1－2.【能力提升】5．A[解析]根据已知cos2α＝－45，tan2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan2α－tan（α－β）1＋tan2αtan（α－β）＝－34－121＋－34×12＝－2.6．D[解析]∵sin2α＋cos2α＝14，∴sin2α＋(1－2sin2α)＝14，又∵α∈0，π2，∴cosα＝12，sinα＝32，∴tanα＝3.7．B[解析]∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝3，∵tanA＋tanB＝233，∴tanAtanB＝13.8．C[解析]由sin(π＋α)＝－35，得sinα＝35，又α是第二象限角，故cosα＝－1－sin2α＝－45，∴tanα＝－34，tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×－341－－342＝－247.9．C[解析]∵2cosπ4－α＝sinα＋cosα，∴2cosπ4－α2＝(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝1＋2425＝4925.∵0απ2，∴－π2－α0，－π4π4－απ4，∴cosπ4－α0，∴2cosπ4－α＝75.10.11005(2011－1)[解析]f(x)＝（2010sin4x＋1）（2010cos4x＋1）20102sin2xcos2x＝20102sin4xcos4x＋2010（sin4x＋cos4x）＋120102sin2xcos2x＝sin2xcos2x＋201120102sin2xcos2x－22010≥11005(2011－1)．11．－12[解析]∵tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝34，∴tanθ＝－3或tanθ＝13，又θ∈π2，π，∴tanθ＝－3，∴2cos2θ2＋sinθ－12cosθ＋π4＝cosθ＋sinθcosθ－sinθ＝1＋tanθ1－tanθ＝1－31＋3＝－12.12.103[解析]由3sinα＋cosα＝0得cosα＝－3sinα，则1cos2α＋sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α＋2sinαcosα＝9sin2α＋sin2α9sin2α－6sin2α＝103.13．1或110[解析]tan(α＋β)＝1⇒tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝lg（10a）＋lg1a1－lg（10a）·lg1a＝1⇒lg2a＋lga＝0，所以lga＝0或lga＝－1，即a＝1或110.14．解：(1)由2πω＝10π得ω＝15.(2)∵－65＝f5α＋53π＝2cos155α＋53π＋π6＝2cosα＋π2＝－2sinα，1617＝f5β－56π＝2cos155β－56π＋π6＝2cosβ，∴sinα＝35，cosβ＝817.∵α，β∈0，π2，∴cosα＝1－sin2α＝1－352＝45，sinβ＝1－cos2β＝1－8172＝1517.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝45×817－35×1517＝－1385.15．解：(1)a＋b＝(cosαcosβ－sinαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ)，sinαcosβ＋cosαsinβ＋sinαcosβ－cosαsinβ＝(2cosαcosβ，2sinαcosβ)＝45，35，∴2cosαcosβ＝45，2sinαcosβ＝35，∴tanα＝34.(2)2cos2α2－3sinα－12sina＋π4＝cosα－3sinαcosα＋sinα＝1－3tanα1＋tanα＝－57.【难点突破】16．解：方法一：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋34cos2α＋32sinαcosα＋14sin2α－32sinαcosα－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos（60°－2α）2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sinαcosα－12sin2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.课时作业(二十二)