2014《高考题组》第三章导数(有答案)

1第三章导数及其应用§3.1导数的概念及运算1．下列求导正确的是()A.x＋1x′＝1＋1x2B．(x2cosx)′＝－2xsinxC．(3x)′＝3xlog3eD．(log2x)′＝1xln2答案Dx＋1x′＝1－1x2，则A错误；(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，则B错误；(3x)′＝3xln3，则C错误，故选D.2．函数f(x)＝xsinx＋cosx的导数是()A．xcosx＋sinxB．xcosxC．xcosx－sinxD．cosx－sinx答案Bf′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，故选B.3．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)与g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足()A．f(x)＝g(x)B．f(x)－g(x)为常数函数C．f(x)＝g(x)＝0D．f(x)＋g(x)为常数函数答案B∵[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)＝0，∴f(x)－g(x)＝C(C为常数)．4．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()A．y＝axB．y＝logaxC．y＝xexD．y＝xlnx答案D对于A，y＝ax，y′＝axlna，不合题意；对于B，y＝logax，y′＝1xlogae，不合题意；对于C，y＝xex，y′＝ex＋xex，不合题意；对于D，y＝xlnx，y′＝lnx＋1，符合题意，故选D.5．函数y＝f(x)的图象过原点且它的导函数y＝f′(x)的图象是如图所示的一条直线，则y＝f(x)的图象的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案A由已知设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，由图象知2a＜0，即a＜0，b＞0，∴－b2a＞0，4a×0－b24a＝－b24a＞0，∴顶点在第一象限．6．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋5，则f(3)＋f′(3)＝________．答案1解析由题图知点P(3，2)，∴f(3)＝2.又点P处切线方程为y＝－x＋5，∴k＝－1，∴f′(3)＝－1，∴f(3)＋f′(3)＝1.7．已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，则x0的值为________．答案0或－23解析由y＝x2－1得y′＝2x，又由y＝1－x3得y′＝－3x2，使－3x20＝2x0，得x0＝0或x0＝－23.导数的有关概念及运算1．(2012辽宁，12，5分)已知P、Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()A．1B．3C．－4D．－8答案CP(4，8)，Q(－2，2)．又∵y＝x22，∴y′＝x，∴在P处的切线方程为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8.在Q处的切线方程为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2，∴A(1，－4)．故选C.2．(2011山东，4，5分)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9B．－3C．9D．15答案Cy′＝3x2，所以过P(1，12)的切线的斜率k＝3，切线方程为3x－y＋9＝0，故其与y轴交点为(0，9)，故选C.3．(2011江西，4)曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线斜率为()A．1B．2C．eD.1e答案Ay′＝(ex)′＝ex，∴y′|x＝0＝e0＝1，故y＝ex在A(0，1)处的切线斜率为1，选A.4．(2011湖南，7，5分)曲线y＝sinxsinx＋cosx－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为()A．－12B.12C．－22D.22答案By′＝cos2x＋sin2x（sinx＋cosx）2＝11＋sin2x，故切线斜率k＝y′|x＝π4＝12，选B.5．(2012课标全国，13，5分)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1，1)处的切线方程为________．答案y＝4x－3解析y′＝3lnx＋1＋x·3x＝3lnx＋4，k＝y′|x＝1＝4，切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.6．(2009福建，15)若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，0)解析f′(x)＝2ax＋1x.∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)＝0有解，即2ax＋1x＝0有解，∴a＝－12x2，∴a∈(－∞，0)．7．(2012安徽，17，12分)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋1ax＋b(a＞0)．(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y＝32x，求a，b的值．解析(1)解法一：由题设和均值不等式可知，f(x)＝ax＋1ax＋b≥2＋b，其中等号成立当且仅当ax＝1，即当x＝1a时，f(x)取最小值2＋b.解法二：f(x)的导数f′(x)＝a－1ax2＝a2x2－1ax2，当x1a时，f′(x)0，f(x)在1a，＋∞上递增；当0x1a时，f′(x)0，f(x)在0，1a上递减．所以当x＝1a时，f(x)取最小值2＋b.(2)f′(x)＝a－1ax2，2由题设知，f′(1)＝a－1a＝32，解得a＝2或a＝－12(不合题意，舍去)．将a＝2代入f(1)＝a＋1a＋b＝32，解得b＝－1.所以a＝2，b＝－1.8．(2012北京，18，13分)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．解析(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的情况如下：x(－∞，－3)－3(－3，1)1(1，2)2h′(x)＋0－0＋h(x)28－43由此可知：当k≤－3时，函数h(x)在区间[k，2]上的最大值为h(－3)＝28；当－3k2时，函数h(x)在区间[k，2]上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(－∞，－3]．9．(2011重庆，19，12分)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－12对称，且f′(1)＝0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．解析(1)因f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，故f′(x)＝6x2＋2ax＋b.从而f′(x)＝6x＋a62＋b－a26，即y＝f′(x)关于直线x＝－a6对称．从而由条件知－a6＝－12，解得a＝3.又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x1＝－2，x2＝1.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；当x∈(－2，1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2，1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．从而函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6.1．(2012四川绵阳高三诊断)已知曲线y＝x3在点(a，b)处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a的值是()A．－1B．±1C．1D．±3答案B由y＝x3知y′＝3x2，∴切线斜率k＝y′|x＝a＝3a2.又切线与直线x＋3y＋1＝0y＝－13x－13垂直，∴3a2·－13＝－1，即a2＝1，a＝±1，故选B.2．(2012四川成都石室中学高三诊断)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为()A．－14B．2C．4D．－12答案C∵曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝k＝2.又f′(x)＝g′(x)＋2x，∴f′(1)＝g′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4，故选C.3．(2011安徽“江南十校”联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(1)＝()A．－1B．－2C．1D．2答案Bf′(x)＝2f′(1)＋2x.令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)＋2，∴f′(1)＝－2.4．(2012乌鲁木齐第二次诊测，10，5分)直线y＝12x＋b与曲线y＝－12x＋lnx相切，则b的值为()A．－2B．－1C．－12D．1答案B设切点的坐标为a，－12a＋lna，依题意，对于曲线y＝－12x＋lnx，有y′＝－12＋1x，∴－12＋1a＝12，∴a＝1，又切点1，－12在直线y＝12x＋b上，∴－12＝12＋b，∴b＝－1，故选B.5．(2012哈尔滨模拟，10，5分)已知a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导函数f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为()A．y＝－3xB．y＝－2xC．y＝3xD．y＝2x答案B∵f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2.∵f′(x)为偶函数，∴a＝0，∴f′(x)＝3x2－2，∴f′(0)＝－2，∴曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－2x，故选B.6．(2012郑州预测)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，2)，则ab等于()A．－8B．－6C．－1D．5答案A由题意知k＋1＝2，故k＝1，又由曲线的方程得y′＝3x2＋a，故3＋a＝1，∴a＝－2，故曲线方程为y＝x3－2x＋b，将点A坐标代入可得b＝3，∴ab＝(－2)3＝－8.7．(2012广东佛山二模)函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝ex－e，则f′(1)＝________．答案e解析由导数的几何意义知：f′(1)是切线y＝ex－e的斜率，∴f′(1)＝k＝e.8．(2011北京海淀第二学期期中，12，5分)已知函数f(x)＝xex，则f′(x)＝________；函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为________．答案(1＋x)ex；y＝x解析∵f′(x)＝1·ex＋x·ex＝(1＋x)·ex;f′(0)＝1，f(0)＝0，因此f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y－0＝x－0，即y＝x.9．(2013银川联考，20，12分)已知函数f(x)＝x3－ax2＋10.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f(x)0成立，求实数a的取值范围．解析(1)当a＝1时，f′(x)＝3x2－2x，f(2)＝14，曲线y＝f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率k＝f′(2)3＝8，∴曲线y＝f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y－14＝8(x－2)，即8x－y－2＝0.(5分)(2)由已知得ax3＋10x2＝x＋10x2，设g(x)＝x＋10x2(1≤x≤2)，g′(x)＝1－20x3，(8分)∵1≤x≤2，∴g′(x)0，∴g(x)在[1，2]上是减函数．(10分)g(x)min＝g(2)＝92，∴a92.(12分)§3.2导数的应用1．若函数f(x)＝