232233向量积的运算公式及度量公式

1/17张喜林制2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律：(1)交换律：(2)分配律：(3)数乘向量结合律：2．常用结论：2))(1(ba2))(2(ba)())(3(baba3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a),,(21aa),,(21bbb则ba4．设).,(),,(2121bbbaaa如果,ba则如果,02211baba则对于任意实数k，向量),(12bbk与向量),(21bb垂直．5．向量),,(),,(2121bbbaaa则||a,cosab2/176．若),,(),,(2211yxByxA则),,(1212yyxxAB所以||AB要点核心解读1．向量数量积的运算律abba)1(（交换律）；)()())(2(bababa（结合律）；cbcacba))(3(（分配律）．2．向量数量积的运算律的证明abba)1(（交换律）证明：,,cos||||,cos||||abababbababa.abba)()()()2(bababa（结合律）证明：.,cos||||)(bababa①.,cos||||)(bababa②当0时，a与a同向，),,(,baba.,cos||||)(bababa当0时，,00)0()(bbaba,0,cos||||baba.,cos||||)(bababa,0时当ba与反向，),,,(baba],cos[||||)()(bababa],cos[||||baba.,cos||||baba综合以上可得.,cos||||)(bababa③由②同理可证得：.,cos||||)(bababa3/17综合以上可得：.||||)()()(babababa.,cosbacbcacba))(3(（分配律）证明：作轴L与向量c的单位向量0c平行．如图2-3-2-1，作ABaOA,,b则.baOB设点0、A、B在轴L上的射影为、O,//BA、跟据向量的数量积的定义有,00/cacOAOA,00//cbcABBA,)(00/cbacOBOB但对轴上任意三点,//BAO、、都有,0////BAAOB即,)(000cbcacba上式两边同乘以|,|c由ccc0||得：.)(cbcacba∴得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．.abba(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有).()(baba(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律.)(2121bababaa(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.aCbacb)()(是错误的，这是因为cbba与都是数量，所以cbacba)()(与分别表示a的共线向量和c的共线向量，当然就不能相等．4/17(5)由,)()(dbcbdacadcba可得向量的三个运算公式：,||||)()(22bababa,||2||)(222bbaaba.||2||)(222bbaaba4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21ee已知),(),,(2121bbbaaa，则.)()(121111122112211ebaeebaebebeaeaba.2122ebae22221eebae因为,0,112212211eeeeeeee所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件设),,(),,(2121bbbaaa则.02211bababa6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3-2-2，已知,1aa（),2a则),(),(||21212aaaaaaa.2221aa因此①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式，这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211yxByxA则),,(1212yyxxAB从而②AB的长就是A、B两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121bbbaaa5/17则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211yxbyxa则ba.02121yyxx利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知：0)sin,(cos),sin,(cosba),则ba与ba是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin,(cos),sin,(cosba有ba),sinsin,cos(cos),sinsin,cos(cosba又(sin)cos)(coscos(cos)).(baba).sin)sin(sin.0sinsincoscos2222所以).()(baba(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a与b的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：.0//;012212121yxyxbayyxxba8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a，b为非零向量，如果,0ba那么a，b的夹角为锐角或a，b同向，反之也成立；如果,0ba那么a，b的夹角为钝角或a，b反向，反之也成立，典例分类剖析考点1判断向量运算的正误[例1]给出下列命题：①设a、b、c是非零向量，则cba)(与c共线；②若a,Rb且),0则0;baba③与a⊥b是等价命题；④若,.cbca则;ba⑤若a与b共线，则.||aba|;|b⑥若.0ba则),(ba是钝角．其中真命题为（填序号）．[解析]向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a×b是一个实数，不妨记作，故.)(cba,//ccC所以①正确．6/17,0)(0bababa②因为,0所以,0ba所以,ba故②正确．③因为,cos||||,0bababa所以0||0||ba或或,0cos所以0a或0b或.90又因为规定O与任意向量垂直，所以.ba反之，.0cos90,ababa,090cos||||bab故③正确．cbca④不一定有.ba例如,,Cbca且,2ba此时,0cbCa但.ba故④错．⑤a与b共线ba与方向相同或方向相反0,ba或.||||),(bababa故⑤错，⑥因为,cos||||,0baabba所以,0cos所以),,2(所以为钝角或平角，故⑥错．[答案]①②③[点拨]此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a、b、c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为()．;//||||||bababa①②a、b反向.||aba|;|b|;|||bababa③④a;cbcab⑤.000baba或1.A2.B3.C4.D考点2向量的混合运算[例2](1)已知,2||,4||,120baba则a|)()2(|babab(2)若向量a、b、c满足,0cba且,1||,3||ba.4||c则accbba[解析]（1）)()2(bababa2222)(babbaaba2222bbaabbaa222120cos24164120cos24216.1232(2)根据已知条件，可知a与b同向，c与a+b反向．解法一：由已知得.|,|||||bacbac可知向量a与b同向，而向量c与它们反向，3180cos12180cos40cos3oaccbba.131247/17解法二：),(2)(2222accbbacbacbaaccbba2)()(2222cbacba2)413(0222.13[答案]2132)1(13)2([点拨]①利用公式2||aaa和向量数量积的运算性质计算．②(2)问解法二是利用2222)(bbaaba推广到2)(Cba222Cba)(2accbba予以解答的．2．已知,21||,5||,4||baba求：;)1(ba)2()2)(2(baba的值，考点3利用数量积及运算律求横[例3]已知向量a、b满足,1||||ba且,3|23|ba求|3|ba的值．[解析]通过数量积a×b来探求已知条件3|23|ba与目标式|3|ba之间的关系..1||||,1||||22baba又,9)23(,3|23|2baba,9||412||922bbaa将,1||||22ba代入有,31ba而,1213169||6||9)3(222bbaaba.32|3|ba[点拨]解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a、b、c满足：.0acba，（:)(:)cbb)(ac),23(:3:1当1||a时；求||b及||c的值．8/17考点4向量夹角问题[例4]已知a，b是两个非零向量，且|,|||||baba求向量b与ba的夹角．[解析]我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a、b为邻边的平行四边形．如图2-3-2-3所示，若,,bBCaAB则CA,B,baDba由aba||||||,b可知,60oABCb与BD所成角是.150我们还可以利用数量积的运算，得出b与a-b的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由||||)(,cosbabbabbab作为切入点，.)(|,||||,|||22bababbab.||21||)(2||||2222bbabbaab而.||23||||21)(2222bbbbabbab①由22222||)21(2||)(2)(bbbbaaba,|31||22bb而.||3||,||3)(||222bbabbaba②,||||)(,cosbabbabbab代入①②得23||3||||23,cos2bbbbab又65),(],,0[,babbab4．已知.3||,4||ba(1)若a与b的夹角为,600求ababa|),3()2(|;3||,2bab(2)若,