2017届高考数学大一轮总复习第六章不等式推理与证明计时双基练38简单线性规划理

1计时双基练三十八简单线性规划A组基础必做1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为()A．(－24,7)B．(－7,24)C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)0。即(a＋7)(a－24)0，解得－7a24。答案B2．(2015·广东卷)若变量x，y满足约束条件4x＋5y≥8，1≤x≤3，0≤y≤2，则z＝3x＋2y的最小值为()A．4B.235C．6D.315解析作出题中约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由z＝3x＋2y可得y＝－32x＋z2。z2指的是直线y＝－3xx＋z2在y轴上的截距，根据图形可知当直线y＝－32x＋z2通过点A时，可使z2取得最小值，即z取得最小值。易知点A的坐标为1，45，所以zmin＝3×1＋2×45＝235。答案B3．(2015·泉州质检)已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件2x＋|y|≤1，x≥0，则z＝OA→·OP→的最大值为()A．－2B．－1C．1D．2解析如图作可行域，z＝OA→·OP→＝x＋2y，显然在B(0,1)处取得最大值，即zmax＝2。故选D。答案D4．(2015·福建质检)已知x，y满足x2＋y2≤1，x＋y≤1，y≥0，则z＝x－y的取值范围是()A．[－2，1]B．[－1,1]C．[－2，2]D．[－1，2]解析因为x，y满足x2＋y2≤1，x＋y≤1，y≥0，可行域如图所示。目标函数y＝x－z过点A(1,0)时在y轴的截距最小，此时zmax＝1；过点B－22，22时，目标函数在y轴的截距最大，此时zmin＝－2。所以z∈[－2，1]。答案A5．已知约束条件x－3y＋4≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0，若目标函数z＝x＋ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a的取值范围为()3A．0a13B．a≥13C．a13D．0a12解析画出可行域为△ABC内部(包括边界)，易知当a＝0时，不符合题意；当a0时，由目标函数z＝x＋ay得y＝－1ax＋za，则由题意得－3＝kAC－1a0，∴a13。答案C6．(2015·福建卷)变量x，y满足约束条件x＋y≥0，x－2y＋2≥0，mx－y≤0，若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于()A．－2B．－1C．1D．2解析画出约束条件x＋y≥0，x－2y＋2≥0表示的可行域，如图，作直线2x－y＝2，与直线x－2y＋2＝0交于可行域内一点A(2,2)，由题知直线mx－y＝0必过点A(2,2)，即2m－2＝0，得m＝1。故选C。答案C7．(2015·课标全国Ⅱ卷)若x，y满足约束条件x＋y－5≤0，2x－y－1≥0，x－2y＋1≤0，则z＝2x＋y的最大值为________。解析如图所示，可行域为阴影部分。4由可行域可知，目标函数z＝2x＋y过点B取得最大值。联立x＋y－5＝0，x－2y＋1＝0，解得x＝3，y＝2，则B(3,2)，故zmax＝6＋2＝8。答案88．已知点P(x，y)在不等式组2x＋y≥4，x－y≥0，x－2y≤2所确定的平面区域内，则yx－1的取值范围为________。解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，yx－1表示可行域内的点与点C(1,0)的连线的斜率。由图可知，直线CA的斜率为0，直线CB的斜率为43－043－1＝4，所以yx－1的取值范围为[0,4]。答案[0,4]9．变量x，y满足约束条件y≥－1，x－y≥2，3x＋y≤14，若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数个，则实数a的取值集合是________。解析作出不等式组y≥－1，x－y≥2，3x＋y≤14表示的区域如图所示。5由z＝ax＋y得：y＝－ax＋z。当－a0时，平行直线的倾斜角为锐角，从图1可看出，a＝－1时，线段AC上的所有点都是最优解；当－a0时，平行直线的倾斜角为钝角，从图2可看出，当a＝3时，线段BC上的所有点都是最优解。答案{3，－1}10．(2016·合肥模拟)画出不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合。所以不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域如图所示。结合图中可行域得6x∈－52，3，y∈[－3,8]。(2)由图形及不等式组知－x≤y≤x＋5，－52≤x≤3，且x∈Z，当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)。11．若x，y满足约束条件x＋y≥1，x－y≥－1，2x－y≤2。(1)求目标函数z＝12x－y＋12的最值；(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围。解(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)。平移初始直线12x－y＋12＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值1。所以z的最大值为1，最小值为－2。(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知－1－a22，解得－4a2。故所求a的取值范围为(－4,2)。B组培优演练71．(2015·云南省师范大学附属中学高三适应性考试)设x，y满足约束条件3x－y－2≤0，x－y≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a0，b0)的最大值为4，则ab的取值范围是()A．(0,4)B．(0,4]C．[4，＋∞)D．(4，＋∞)解析作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z＝ax＋by(a0，b0)过点A(1,1)时取最大值，∴a＋b＝4，ab≤a＋b22＝4，∵a0，b0，∴ab∈(0,4]，故选B。答案B2．已知x，y满足约束条件x－y－1≤0，2x－y－3≥0，当目标函数z＝ax＋by(a0，b0)在该约束条件下取到最小值25时，a2＋b2的最小值为()A．5B．4C.5D．2解析约束条件x－y－1≤0，2x－y－3≥0满足的可行域如图中的阴影部分所示。由图可知，目标函数z＝ax＋by(a0，b0)取最小值时，最优解为(2,1)。所以2a＋b＝25。解法一(配方法)：由b＝25－2a，所以a2＋b2＝a2＋(25－2a)2＝5a2－85a＋20＝5a－4552＋4，即当a＝455，b＝255时，a2＋b2有最小值4。8解法二(几何法)：a2＋b2表示坐标原点与直线2a＋b＝25上的点之间的距离，故a2＋b2的最小值为2522＋12＝2，即a2＋b2的最小值为4。答案B3．(2016·湖南省东部六校高三联考)已知不等式组x＋y－22≥0x≤22y≤22表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2＋y2＝1的两条切线且切点分别为A，B，当△PAB的面积最小时，cos∠APB的值为()A.78B.12C.34D.32解析设点P(x，y)，|PO|＝x2＋y2，sin∠APO＝1|PO|，cos∠APO＝|PO|2－1|PO|，sin∠APB＝2|PO|2－1|PO|2，故S△APB＝12|PA|·|PB|sin∠APB＝12(PO|2－1)2·2|PO|2－1|PO|2＝(|PO|2－1)2·|PO|2－1|PO|2，令t＝|PO|2－1，则(|PO|2－1)2·|PO|2－1|PO|2＝t·tt＋1，令f(t)＝ttt＋1，则f′(t)＝tt＋t＋2，又|PO|≥|0＋0－22|12＋12＝2，∴t≥3，f′(t)0，f(t)在[3，＋∞)上单调递增，即|PO|＝x2＋y2取最小值时，△PAB的面积最小，此时sin∠APB＝2|PO|2－1|PO|2＝32，cos∠APB＝12。答案B4．(2016·西安模拟)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，且方程f(x)＝0在区间(0,1)和(1,2)上各有一解，则2a－b的取值范围用区间表示为________。解析因为函数f(x)＝x2＋ax＋b，且方程f(x)＝0在区间(0,1)和(1,2)上各有一解，则函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(0,1)和(1,2)上各有一个零点，又因为f(x)＝x2＋ax＋b是开口向上的抛物线，所以f(1)0，f(2)0，f(0)0，所以f(1)＝a＋b＋10，①f(2)＝4＋2a＋b0，②f(0)＝b0，③画出约束条件①②③表示的可行域如图，设2a－b＝z，9由a＋b＋1＝0，4＋2a＋b＝0，解得A(－3,2)，z＝2a－b经过点A时取得最小值，最小值为－8，由a＋b＋1＝0，b＝0，得B(－1,0)，z＝2a－b经过B点时取得最大值，最大值为－2，所以2a－b的取值范围用区间表示为(－8，－2)。答案(－8，－2)5．已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)。若平面区域D由所有满足AP→＝λAB→＋μAC→(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为________。解析AB→＝(2,1)，AC→＝(1,2)。设P(x，y)，由AP→＝λAB→＋μAC→，得x－1＝2λ＋μ，y＋1＝λ＋2μ，故有λ＝2x－y－33，μ＝2y－x＋33。又λ∈[1,2]，μ∈[0,1]，故有1≤2x－y－33≤2，0≤2y－x＋33≤1，即3≤2x－y－3≤6，0≤2y－x＋3≤3。则平面区域D如图中阴影部分所示。由图可知平面区域D为平行四边形，可求出M(4,2)，N(6,3)，故|MN|＝5。又x－2y10＝0与x－2y－3＝0之间的距离为d＝35＝355，故平面区域D的面积为S＝5×355＝3。答案3