2017届高考数学一轮复习必考部分复数算法推理与证明第4节综合法分析法反证法应用能力提升文

1第4节综合法、分析法、反证法【选题明细表】知识点、方法题号综合法3,5,6,8,12分析法7,10,11反证法1,2,4,9,13基础对点练(时间:30分钟)1.用反证法证明某命题时,对结论“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设是(B)(A)自然数a,b,c中至少有两个偶数(B)自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数(C)自然数a,b,c都是奇数(D)自然数a,b,c都是偶数解析:“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”.故选B.2.设x,y,z0,则三个数+,+,+(C)(A)都大于2(B)至少有一个大于2(C)至少有一个不小于2(D)至少有一个不大于2解析:假设三个数都小于2,则+++++6,由于+++++=(+)+(+)+(+)≥2+2+2=6,所以假设不成立,所以+,+,+中至少有一个不小于2.故选C.3.设a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小顺序是(A)(A)abc(B)bca(C)cab(D)acb解析:因为a=-=,b=-=,c=-=,2又因为+++0,所以abc.4.(2014高考山东卷)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是(A)(A)方程x3+ax+b=0没有实根(B)方程x3+ax+b=0至多有一个实根(C)方程x3+ax+b=0至多有两个实根(D)方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析:至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.故选A.5.(2016成都模拟)已知函数f(x)=()x,a,b是正实数,A=f(),B=f(),C=f(),则A,B,C的大小关系为(A)(A)A≤B≤C(B)A≤C≤B(C)B≤C≤A(D)C≤B≤A解析:因为≥≥,又f(x)=()x在R上是减函数,所以f()≤f()≤f(),即A≤B≤C.故选A.6.设S是至少含有两个元素的集合,在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a*b与之对应),若对任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是(A)(A)(a*b)*a=a(B)[a*(b*a)]*(a*b)=a(C)b*(b*b)=b(D)(a*b)*[b*(a*b)]=b解析:由已知条件可得对任意a,b∈S,a*(b*a)=b,则b*(b*b)=b,[a*(b*a)]*(a*b)=b*(a*b)=a,(a*b)*[b*(a*b)]=(a*b)*a=b,即选项B,C,D中的等式均恒成立,仅选项A中的等式不恒成立.7.设ab0,m=-,n=,则m,n的大小关系是.解析:法一取a=2,b=1,得mn.3法二-⇐+⇐ab+2·+a-b⇐2·0,显然成立,故mn.答案:mn8.已知点An(n,an)为函数y=图像上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图像上的点,其中n∈N*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为.解析:由条件得cn=an-bn=-n=,所以cn随n的增大而减小.所以cn+1cn.答案:cn+1cn9.用反证法证明:若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么a,b,c中至少有一个是偶数.用反证法证明时,假设的内容是.解析:“至少有一个是”的否定为“都不是”.答案:假设a,b,c都不是偶数10.已知a0,用分析法证明-≥a+-2.证明:要证-≥a+-2,只需证≥(a+)-(2-).因为a0,所以(a+)-(2-)0,所以只需证()2≥[(a+)-(2-)]2,即2(2-)(a+)≥8-4,只需证a+≥2.因为a0,a+≥2显然成立(a==1时等号成立),所以要证的不等式成立.能力提升练(时间:15分钟)411.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设abc,且a+b+c=0,求证a”索的因应是(C)(A)a-b0(B)a-c0(C)(a-b)(a-c)0(D)(a-b)(a-c)0解析:由abc,且a+b+c=0可得b=-a-c,a0,c0.要证a,只要证(-a-c)2-ac3a2,即证a2-ac+a2-c20,即证a(a-c)+(a+c)(a-c)0,即证a(a-c)-b(a-c)0,即证(a-c)(a-b)0.故求证“a”索的因应是(a-c)(a-b)0.12.对于函数f(x),对任意a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)都是某一三角形的三边长,则称f(x)为“可构造三角形函数”.以下说法正确的是(D)(A)f(x)=1(x∈R)不是“可构造三角形函数”(B)“可构造三角形函数”一定是单调函数(C)f(x)=(x∈R)是“可构造三角形函数”(D)若定义在R上的函数f(x)的值域是[,e](e为自然对数的底数),则f(x)一定是“可构造三角形函数”解析:对于A选项,由题设所给的定义知,任意a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)都是某一正三角形的三边长,是“可构造三角形函数”,故A选项错误;对于B选项,由A选项判断过程知,B选项错误;对于C选项,当a=0,b=3,c=3时,f(a)=1f(b)+f(c)=,不构成三角形,故C错误;对于D选项,由于+e,可知,定义在R上的函数f(x)的值域是[,e](e为自然对数的底数),则f(x)一定是“可构造三角形函数”.13.设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合:①≤an+1;②an≤M,其中n∈N*,M是与n无关的常数.(1)若{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,a3=4,S3=18,试探究{Sn}与集合W之间的关系;(2)设数列{bn}的通项公式为bn=5n-2n,且{bn}⊆W,M的最小值为m,求m的值;5(3)在(2)的条件下,设Cn=[bn+(m-5)n]+,求证:数列{Cn}中任意不同的三项都不能成为等比数列.(1)解:因为a3=4,S3=18,所以a1=8,d=-2.所以Sn=-n2+9n.Sn+1满足条件①,Sn=-(n-)2+,当n=4或5时,Sn取最大值20.所以Sn≤20满足条件②,所以{Sn}⊆W.(2)解:bn=5n-2n可知{bn}中最大项是b3=7,所以M≥7,M的最小值为7.即m=7.(3)证明:由(2)知Cn=n+,假设{Cn}中存在三项Cp,Cq,Cr(p,q,r互不相等)成等比数列,则=Cp·Cr,所以(q+)2=(p+)(r+),所以(q2-pr)+(2q-p-r)=0,因为p,q,r∈N*,所以消去q得(p-r)2=0,所以p=r,与p≠r矛盾.所以{Cn}中任意不同的三项都不能成为等比数列.精彩5分钟1.已知三个不等式①ab0;②;③bcad.以其中两个作条件,余下一个作结论,则可组成个正确命题.解题关键:-=.6解析:此题共可组成三个命题即①②⇒③;①③⇒②;②③⇒①.若ab0,,则-=0,得bc-ad0,即可得命题①②⇒③正确;若ab0,bcad,则=-0,得,即命题①③⇒②正确;若bcad,,则-=0,得ab0,即命题②③⇒①正确.综上可得正确的命题有三个.答案:三2.凸函数的性质定理为如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有≤f(),已知函数y=sinx在区间(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值为.解题关键:利用所给凸函数的性质求解.解析:因为f(x)=sinx在区间(0,π)上是凸函数,且A,B,C∈(0,π),所以≤f()=f(),即sinA+sinB+sinC≤3sin=,所以sinA+sinB+sinC的最大值为.答案:3.(2016洛阳模拟)下面有4个命题:①当x0时,2x+的最小值为2;②若双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=x,且其一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则双曲线的离心率为2;③将函数y=sin2x的图像向右平移个单位,可以得到函数y=sin(2x-)的图像;④在Rt△ABC中,AC⊥BC,AC=a,BC=b,则△ABC的外接圆半径r=;7类比到空间,若三棱锥SABC的三条侧棱SA,SB,SC两两互相垂直,且长度分别为a,b,c,则三棱锥SABC的外接球的半径R=.其中错误命题的序号为.解题关键:对四个命题的真假性逐一作出判断.解析:对于①,2x+取得最小值为2的条件是x=0,这与x0相矛盾;对于③,将函数y=sin2x的图像向右平移个单位,可以得到函数y=sin[2(x-)]=sin(2x-)的图像;易证②成立;对于④,可将该三棱锥补成长方体,其外接球的直径恰好是长方体的体对角线.答案:①③