2016高考数学大一轮复习81空间几何体的表面积和体积学案理苏教版

1学案42空间几何体的表面积和体积导学目标：1.了解球、柱、锥、台的表面积及体积的计算公式(不要求记忆).2.培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行计算．自主梳理1．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝________V＝____＝________圆锥S侧＝________V＝________＝________＝13πr2l2－r2圆台S侧＝________V＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h直棱柱S侧＝____V＝____正棱锥S侧＝________V＝________正棱台S侧＝________V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S球面＝________V＝________2．几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是________________．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于________________________________．自我检测1．一个长方体上一个顶点所在的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的对角线长为________．2．(教材改编)表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．3．(教材改编)球的体积为3π2，一个正方体的顶点都在球面上，则正方体的体积为________．4．圆台的一个底面周长为另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面半径为_________________________________________________________．5．(2010·南京模拟)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为____________________________________________________________．2探究点一多面体的表面积及体积例1三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，一条侧棱与底面相邻两边都成60°角，求此棱柱的侧面积与体积．变式迁移1已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则三棱柱的侧面面积为________．探究点二旋转体的表面积及体积例2如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中∠BAC＝30°)及其体积．变式迁移2直三棱柱ABC—A1B1C1的各顶点都在同一球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于________．探究点三割补法与等积变换法例3如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．变式迁移3(1)如图所示，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分的母线长最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截下部分的体积是____________．(2)(2009·辽宁改编)正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为________．31．有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·东北育才学校三模)如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于________．2．(2009·陕西改编)若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为________．3．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π3，则这个三棱柱的体积是________．4．(2010·南京联考)矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为________．5．(2010·全国改编)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．6．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．7．(2010·苏州模拟)一块正方形薄铁片的边长为4cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm3.8．(2010·湖北)圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.4二、解答题(共42分)9．(14分)(2010·徐州模拟)如图组合体中，三棱柱ABC—A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面．点C是弧AB的中点，求四棱锥A1—BCC1B1与圆柱的体积比．10．(14分)(2010·抚顺模拟)如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC⊥AD；(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长AD的大小；若不存在，说明理由．11．(14分)(2011·南京模拟)如图，已知三棱锥P－ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB中点，M为PB中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.(1)求证：DM∥平面PAC；(2)求证：平面PAC⊥平面ABC；(3)求三棱锥M－BCD的体积．5学案42空间几何体的表面积和体积答案自主梳理1．2πrhShπr2hπrl13Sh13πr2hπ(r1＋r2)lChSh12Ch′13Sh12(C＋C′)h′4πR243πR32.(1)各面面积之和(2)侧面积与底面面积之和自我检测1.62.23．1解析设球半径为R，则43πR3＝3π2，R＝32，∴正方体对角线长为3，棱长为1，体积为1.4．7解析设上、下底半径为r、R，则2πR＝3·2πr，即R＝3r.又π(R＋r)·l＝84π，∴R＋r＝843＝28，∴r＝7.5.212a3解析设正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，沿AC折起后依题意得，当BD＝a时，BE⊥DE，所以DE⊥平面ABC，于是三棱锥D－ABC的高为DE＝22a，所以三棱锥D－ABC的体积V＝13·12a2·22a＝212a3.课堂活动区例1解题导引对于斜棱柱表面积及体积的求解必须求各个侧面的面积和棱柱的高．解决此类斜棱柱侧面积问题的关键：在已知棱柱高的条件下，用线面垂直⇒线线垂直的方法作出各个侧面的高，并在相应的直角三角形中求解侧面的高．解6如图，过点A1作A1O⊥面ABC于点O，连结AO.过点A1作A1E⊥AB于点E，过点A1作A1F⊥AC于点F，连结EO，FO，易得OE⊥AB，OF⊥AC，∵AA1和AB与AC都成60°角，∴△A1AE≌△A1AF，∴A1E＝A1F.∵A1O⊥面ABC，∴EO＝FO.∴点O在∠BAC的角平分线上，延长AO交BC于点D，∵△ABC是正三角形，∴BC⊥AD.∴BC⊥AA1.∵AA1∥BB1，∴侧面BB1C1C是矩形，∴三棱柱的侧面积为S＝2×3×4×sin60°＋3×4＝12＋123.∵AA1＝3，AA1与AB和AC都成60°角，∴AE＝32.∵∠BAO＝30°，∴AO＝3，A1O＝6.∴三棱柱的体积为V＝34×16×6＝122.变式迁移127＋4解析如图所示，设D为BC的中点，连结A1D，AD.∵△ABC为等边三角形，∴AD⊥BC，∴BC⊥平面A1AD，∴BC⊥A1A，又∵A1A∥B1B，∴BC⊥B1B，又∵侧面与底面边长都等于2，∴四边形BB1C1C是正方形，其面积为4.作DE⊥AB于E，连结A1E，则AB⊥A1E，又∵AD＝22－12＝3，DE＝AD·BDAB＝32，∴AE＝AD2－DE2＝32，∴A1E＝AA21－AE2＝72，∴S四边形ABB1A1＝7，∴S三棱柱侧＝27＋4.例2解题导引解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算．求全面积时不要忘记“内表面”．解如图所示，过C作CO1⊥AB于O1，7在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝3R，BC＝R，CO1＝32R，∴S球＝4πR2，S圆锥AO1侧＝π×32R×3R＝32πR2，S圆锥BO1侧＝π×32R×R＝32πR2，∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝112πR2＋32πR2＝11＋32πR2，∴旋转所得到的几何体的表面积为11＋32πR2.又V球＝43πR3，V圆锥AO1＝13·AO1·πCO21＝14πR2·AO1，V圆锥BO1＝13BO1·πCO21＝14πR2·BO1，∴V几何体＝V球－(V圆锥AO1＋V圆锥BO1)＝43πR3－12πR3＝56πR3.变式迁移220π解析在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，可得BC＝23，由正弦定理，可得△ABC外接圆的半径r＝2，设此圆圆心为O′，球心为O，在Rt△OBO′中，易得球半径R＝5，故此球的表面积为4πR2＝20π.例3解题导引求体积常用方法：割补法和等积变换法．(1)割补法：对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式，常常运用割补法：将原几何体分割成几个可求体积的几何体，或利用平移、旋转或对称等手段，将原几何体补成便于求体积的几何体．(2)等积变换法：求锥体的体积，要选择适当的底面和高，任何一个面均可作为底面，且常用“等积性”求点到面的距离．答案23解析如图所示，过BC作EF的直截面BCG，作面ADM∥面BCG，FO＝32，FG＝12.8∴GO＝FO2－FG2＝22，∴S△BCG＝12×1×22＝24，V1＝VBCG－ADM＝S△BCG·AB＝24，V2＝2VF－BCG＝2×13×24×12＝212.∴V＝V1＋V2＝23.变式迁移3(1)a＋b2πr2(2)2∶1解析(1)补上一个相同形状的几何体，如图所示，可得底面半径为r，高为(a＋b)的圆柱，故所求的体积为12πr2(a＋b)．(2)由题意可知VB－GAC＝VP－GAC，∵三棱锥VB－GAC＝VG－BAC，VD－GAC＝VG－ADC，又∵三棱锥G－BAC与三棱锥G－ADC等高，且S△BAC∶S△ADC＝1∶2，综上可知VD－GAC∶VP－GAC＝2∶1.课后练习区1.S4Sπ解析设圆柱的底面半径为r，则高为2r，S＝2πr×2r，∴r＝S2π，V＝πr2×2r＝2πr3＝2π(12Sπ)3＝2π×18×SπSπ＝S4Sπ.2.23解析由题意可知，此几何体是由同底面的两个正四棱锥组成的，底面正方形的边长为1，每一个正四棱锥的高为22，所以V＝2×13×1×22＝23.3．483解析由43πR3＝32π3，∴R＝2.∴正三棱柱的高h＝4.设其底面边长为a，则13·32a＝2，∴a＝43.∴V＝34×(43)2×4＝483.94.125π6解析易知外接球球心O即为AC的中点，故球半径r＝12AC＝52，∴V＝4π3r3＝4π3×(52)3＝125π6.5.73πa2解析由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，设O、O1分别为下、上底面中心，且球心O2为O1O的中点，又