2015年上海高考数学(文科)试题答案详解

1/72015年上海高考数学（文科）试题解析版一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分）1、函数xxf2sin31的最小正周期为_________.分析：本题是基础题目，主要考查余弦的二倍角公式，属于常考题目。答案：π2、设全集UR，若集合4,3,2,1A，32|xxB，则BCAU_________.分析：本题考查了学生的集合运算，属于基础题目和常考题目。答案：{1,4}3、若复数z满足izz13_，其中i为虚数单位，则z___________.分析：考查复数基本形式及共轭复数的概念，属于基础题目和常规题目。答案：1142i4、设xf1为12xxxf的反函数，则21f___________.分析：考查了反函数的知识点，较为基础。答案：235、若线性方程组的增广矩阵为211302cc，解为53yx，则21cc___________.分析：考查了二元一次方程组增广矩阵的概念，属于基础知识，但考前这个小知识点被遗漏的学校较多。答案：166、若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为316，则a___________.分析：首先考查了学生对于正三棱柱的认识，其次考查了棱柱的体积公式，题型和知识点较为常规。答案：47、抛物线022ppxy上的动点Q到其焦点距离的最小值为1，则p___________.分析：考查了抛物线上的点到焦点的距离问题，可以通过第一定义，将到焦点的距离转化成到准线的距离，这样题目就非常容易解决掉。答案：28、方程223log59log1212xx的解为___________.分析：考查了对数方程的知识点，通过对数运算，去掉对数符号，解出方程的根，易错点为根的验证。答案：22/79、若yx,满足020yyxyx，则目标函数yxxf2的最大值为___________.分析：本题是线性规划的知识点，属于文科拓展的内容，问题比较直接，并没有拐弯难为学生。答案：310、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）分析：排列组合知识点出现在第十题这个位置，相比较模拟卷和往年高考卷，难度不算大，可以用容易来形容。答案：12011、在6212xx的二项展开式中，常数项等于（结果用数值表示）.分析：考察了二项式定理的通项公式，知识点比较简单，本题的指数不算大，很多同学可以把二项式展开做；数理统计的内容在考卷中连续出现两题，而且较为简单，往年高考中很少见到。答案：24012、已知双曲线1C、2C的顶点重合，1C的方程为1422yx，若2C的一条渐近线的斜率是1C的一条渐近线的斜率的2倍，则2C的方程为___________.分析：考察了共渐近线的双曲线方程求法，根据顶点相同，可进一步确定双曲线方程；如果本题“斜率的2倍”改成“倾斜角的2倍”，所考查的知识点就多一些，本题相对简单，尤其是出现在12题的位置。答案：224xy13、已知平面向量cba,,满足ba，且3,2,1,,cba，则cba的最大值为___________.分析：首先考查了集合元素的互异性，可能很多同学会填9；解决本题的最好方法就是数形结合，因为已知a和b之间的关系，在通过向量平行且同向时相加模最大，就能够很容易解决本题目。答案：3514、已知函数xxfsin，存在mxxx,,21，满足6021mxxx，且Nmmxfxfxfxfxfxfmm,2,1213221，则m的最小值为____.分析：本题属于压轴的填空题，难度比前面的十三道题都提升了很大一个档次，首先考查了正弦函数的知识点，其次是要理解绝对值的含义，因为要求m得最小值，所以要尽可能的使得每个绝对值的值尽可能的大，所以会利用正弦函数的最大值和最小值。答案：8二、选择题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）15、设Czz21,，则“21z、z均为实数”是“21zz为实数”的（）3/7A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件下D、既不充分也不必要条件分析：基础题目，考查了条件与命题和复数的定义。答案：A16、下列不等式中，与不等式23282xxx解集相同的是（）A、23282xxxB、32282xxxC、823212xxxD、218322xxx分析：考查了学生对于分式不等式解法的步骤或者等价性，属于基础题目。答案：B17、已知点A的坐标为1,34，将OA坐标原点O逆时针方向旋转3至OB，则B点的纵坐标为（）A、233B、235C、211D、213分析：考查了任意角的三角比的概念及正弦的两角和公式，属于中等题目，但与往年的模拟考中的一道题只是换了一下数据。答案：D18、设nnnyxP,是直线Nnnnyx12与圆222yx在第一象限的交点，则极限11limnnnxy（）A、1B、21C、1D、2分析:本题的知识点属于极限的求法，但实际上在解题时会先取极限再求值；因为nnnyxP,的极限位置为(1,1)点，而题目中所要求的是nnnyxP,与(1,1)构成的斜率的极限，由于两点都在圆上，而且无线逼近，可以得到斜率的极限为过(1,1)与圆相切时的斜率。答案：A三、解答题（本题共5大题，满分74分）19、（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧BC的中点，已知2PO，1OA，求三棱锥PAOC的体积，并求异面直线PA与OE所成角。分析：本题考查了圆锥的体积公式和异面直线夹角的求法，属于比较基础的题目，几何法主要通过中位线，把已知直线平移到同一个平面内即可，因为垂直关系比较容易找到，从而线段的长度也就容易计算了。答案：13，10arccos104/720、（本题满分14分）已知函数xaxxf12，其中a为常数，（1）根据a的不同取值，判断xf的奇偶性，并说明理由；（2）若3,1a，判断xf在[1,2]上的单调性，并说明理由。分析：比较简单的一类奇偶性的判断和证明，首先要注意本题要求先判断，所以解题时要把结论写在前面，然后再去证明；第二问考查了函数单调性的一般步骤，及时含有参数，也比较容易能够判别符号。总体来说本题考查的知识点偏基础。答案：（1）0a时，()fx为奇函数；0a时，()fx非奇非偶。（2）单调递增。21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，A，B，C三地有直道相通，5AB千米，3AC千米，4BC千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为()ft（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后在原地等待．设1tt时，乙到达C地．（1）求1t与1()ft的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当11tt时，求()ft的表达式，并判断()ft在1[,1]t上的最大值是否超过3?说明理由．分析：本题是解三角形与函数最值综合的一道应用题，虽然牵扯到分段函数，但并不是很难，主要考察学生的基础知识——余弦定理的应用及二次函数求最值求法.答案：（1）13=8ACthv乙，设此时甲运动到P点，则115=8APvtkm甲，在APCV中，1ftPC5/7223412cos8ACAPACAPA（2）当178tt时，乙在CB上，设为Q点，设此时甲在P点，则：878QBACCBtt，55PBABAPt222()2cos254218ftPQQBPBQBPBBtt，当718t时，乙在B点不动，设此时甲在P点，则：()55ftPBABAPt，237254218,88()755,18tttfttt当318t时，341()[0,]8ft，且34138()ft的最大值超过了3km.22、（本题满分16分）本题共有2个小题．第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆2221xy，过原点的两条直线1l和2l分别与椭圆交于点A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．（1）设11(,)Axy，22(,)Cxy，用A、C的坐标表示点C到直线1l的距离，并证明12212Sxyxy；（2）设1l：kxy，33,33C，31S，求k的值；（3）设直线1l和2l的斜率之积为m，求m的值，使得无论1l和2l如何变动，面积S保持不变。分析：本题属于中等偏易的题目.考察了学生直线方程求法和点到直线的距离公式，题目中语言的叙述和问题的提出具有引导作用，很有层次感，只是在整个运算过程中多为字母运算，提升了运算的难度，侧面也反应出计算能力的提升为考试的主要趋势。第一问面积的求法，在2013年闸北二模卷中出现过类似的题目，当时是文科填空第二题，主要是考察利用矩阵求三角形面积；第二问只需联立直线与椭圆的方程，解出11(,)Axy然后再带入第一问的公式即可求出k；第三问考查了一个恒成立问题，直线1l和2l的斜率无论怎么变化S始终不变，所以只需得出的等式中，将斜率作为未知量，其余作为已知量，然后未知量的系数为0即可。解：（1）直线1l的方程为：11yyxx，则点C到直线1l的距离为：1221212112221111(,)1yxyyxxyxdClxyyx，（方法1）又221122ABAOxy，1(,)SABdCl12212xyxy.6/7（方法2）11111121122112111221221121221xySxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy（2）15或1（3）12m23、（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知数列{}na与{}nb满足112()nnnnaabb，nN.（1）若35nbn，且11a，求数列{}na的通项公式；（2）设{}na的第0n项是最大项，即0nnaa()nN，求证：数列{}nb的第0n项是最大项；（3）设130aλ，()nnbλnN，求λ的取值范围，使得对任意的m、n，0na，且1(,6)6mnaa。分析：作为压轴题，本题的第一问比较简单，只要通过题目给出的等量关系转化就可以完成；第二问给出的条件较为抽象，没有具体的通项公式，而且题干中的条件比较少，所以难度跳跃很大，考查了累加法的你运用，由简到繁的运算是很多上海考生所想不到的；第三问的难点在于如何一步步缩小λ的取值范围；首先依题意把na的通项公式求出来，然后根据m、n的任意性，找出特殊值2a与1a的关系，根据指数函数性质，可以确定出2a为最大值，1a为最小值，进而求出题目结论。答案：（1）65nan（2）设112()2nnnnnaabbc，0nnaa，00nnaa当0nn时，0nnaa00001121()()()nnnnnnaaaaaa0001212222nnnncccc0001212()nnnncccc000012112[()()()]nnnnnnbbbbbb02()0nnbb00nnbb同理，当0nn时，00nnbb7/7综上，00nnbb对()nN恒成立，即{}nb的第0n项是最大项；（3）104λ