中考数学-压轴题一元二次方程精选解析(一)

2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析(一)例1．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边长为5．（1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．解析：（1）∵AB、AC方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根∴AB＋AC＝2k＋3，AB·AC＝k2＋3k＋2∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝5∴AB2＋AC2＝BC2，(AB＋AC)－2AB·AC＝25即(2k＋3)2－2(k2＋3k＋2)＝25∴k2＋3k－10＝0，∴k1＝－5，k,2＝2当k＝－5时，方程为x2＋7x＋12＝0，解得x1＝－3，x2＝－4（均不合题意，舍去）当k＝2时，方程为x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4∴当k＝2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形（2）若△ABC是等腰三角形，则有①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC三种情况∵△＝(2k＋3)2－4(k2＋3k＋2)＝1＞0∴AB≠AC，故第①种情况不成立∴当AB＝BC或AC＝BC时，5是方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的根∴52－5(2k＋3)＋k2＋3k＋2＝0即k2－7k＋12＝0，解得k1＝3，k2＝4当k＝3时，方程为x2－9x＋20＝0，解得x1＝4，x2＝5此时△ABC的三边长分别为5、5、4，周长为14当k＝4时，方程为x2－11x＋30＝0，解得x1＝5，x2＝6此时△ABC的三边长分别为5、5、6，周长为16例2．已知△ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab＝0有两个相等的实数根，又sinA、sinB是关于x的方程(m＋5)x2－(2m－5)x＋m－8＝0的两个实数根．（1）求m的值；（2）若△ABC的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形的边长．解析：（1）∵关于x的方程x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab＝0有两个相等的实数根∴△＝4(a＋b)2－4(c2＋2ab)＝0，即a2＋b2＝c2∴△ABC是直角三角形∵sinA、sinB是关于x的方程(m＋5)x2－(2m－5)x＋m－8＝0的两个实数根∴sinA＋sinB＝2m－5m＋5，sinA·sinB＝m－8m＋5∵在Rt△ABC中，sin2A＋sin2B＝sin2A＋cos2A＝1∴(sinA＋sinB)2－2sinA·sinB＝1即(2m－5m＋5)2－2×m－8m＋5＝1∴m2－24m＋80＝0，解得m1＝4，m2＝20当m＝4时，方程为9x2－3x－4＝0，解得x1＝3＋15318，x2＝3－15318＜0∵在Rt△ABC中，sinA＞0，sinB＞0∴m＝4不合题意，舍去当m＝20时，方程为25x2－35x＋12＝0，解得x1＝35，x2＝45，符合题意∴m＝20（2）∵△ABC的外接圆面积为25π∴外接圆半径为5，∴c＝10由（1）知，sinA＝35或sinA＝45∴△ABC的两条直角边长分别为6，8设△ABC的内接正方形的边长为t①若正方形的两边在△ABC的两直角边上，则8－t8＝t6解得t＝247②若正方形的一条边在△ABC的斜边上，易得斜边上的高为245，则t10＝245－t245解得t＝12037例3．已知关于x的方程x2－(m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．（1）试用含有α、β的代数式表示m和n；（2）求证：α≤1≤β；（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（12，1），C（1，1），问是否存在点P，使m＋n＝54？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）解：∵α、β为方程x2－(m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的两个实数根ABCttABCttt∴△＝(m＋n＋1)2－4m＝(m＋n－1)2＋4n≥0，且α＋β＝m＋n＋1，αβ＝m∴m＝αβ，n＝α＋β－m－1＝α＋β－αβ－1··········2分（2）证明：∵(1－α)(1－β)＝1－(α＋β)＋αβ＝－n≤0（n≥0），又α≤β∴α≤1≤β··························4分（3）解：要使m＋n＝54成立，只需α＋β＝m＋n＋1＝94①当点P（α，β）在BC边上运动时由B（12，1），C（1，1），得12≤α≤1，β＝1而α＝94－β＝94－1＝54＞1∴在BC边上不存在满足条件的点·················6分②当点P（α，β）在AC边上运动时由A（1，2），C（1，1），得α＝1，1≤β≤2此时β＝94－α＝94－1＝54，又∵1＜54＜2∴在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1，54）·········8分③当点P（α，β）在AB边上运动时由A（1，2），B（12，1），得12≤α≤1，1≤β≤2由对应线段成比例得1－α1－12＝2－β2－1，∴β＝2α由α＋β＝94β＝2α解得α＝34，β＝32又∵12＜34＜1，1＜32＜2∴在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（34，32）综上所述，当点点P（α，β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（1，54）和点（34，32），使m＋n＝54成立··············10分