4高三导数综合复习题经典习题

第1页（共41页）2019年10月03日157****5865的高中数学组卷评卷人得分一．选择题（共18小题）1．设曲线y＝a（x﹣1）﹣lnx在点（1，0）处的切线方程为y＝3x﹣3，则a＝（）A．1B．2C．3D．42．定义在R上的函数f（x）满足f′（x）＞2，且f（1）＝3，则不等式f（x）＞2x+1的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）3．已知函数f（x）的导函数f′（x）满足（x+xlnx）f′（x）＜f（x）对恒成立，则下列不等式中一定成立的是（）A．2f（1）＞f（e）B．e2f（1）＞f（e）C．2f（1）＜f（e）D．ef（1）＜f（e）4．已知函数f（x）＝x2﹣3x+5，g（x）＝ax﹣lnx，若对∀x∈（0，e），∃x1，x2∈（0，e）且x1≠x2，使得f（x）＝g（xi）（i＝1，2），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．5．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1在区间（﹣1，1）内存在极值点，且f（x）＜0恰好有唯一整数解，则a的取值范围是（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）（）A．[，e）B．[，1）∪（e﹣1，]C．（e﹣1，e）D．[，）∪（e﹣1，e）第2页（共41页）6．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．（0，+∞）7．已知函数f（x）＝x2+2alnx+3，若∀x1，x2∈[4，+∞）（x1≠x2），∃a∈[2，3]，＜2m，则m的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．C．D．8．若函数f（x）＝ex﹣ax2在区间（0，+∞）上有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），则实数a的取值范围是（）A．aB．a＞eC．a≤eD．a9．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2019）2f（x+2019）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣2019，﹣2017）B．（﹣2019，﹣2018）C．（﹣2021，﹣2019）D．（﹣2020，﹣2019）10．若曲线y＝ex在x＝0处的切线，也是y＝lnx+b的切线，则b＝（）A．﹣1B．1C．2D．e11．若函数f（x）＝x2+（a﹣1）x﹣alnx存在唯一的极值，且此极值不小于1，则a的取值范围为（）A．[，2）B．[，+∞）C．[0，）D．（﹣1，0）∪[，+∞）12．若0＜x1＜x2＜a都有x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2成立，则a的最大值为（）A．B．1C．eD．2e13．已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）14．已知函数f（x）＝2ef′（e）lnx﹣（e是自然对数的底数），则f（x）的极大值为（）第3页（共41页）A．2e﹣1B．C．1D．2ln215．已知函数f（x）＝，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式＜0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，e）C．D．16．已知函数f（x）＝ex﹣1+e1﹣x，则满足f（x﹣1）＜e+e﹣1的x的取值范围是（）A．1＜x＜3B．0＜x＜2C．0＜x＜eD．1＜x＜e17．已知函数，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．[2，+∞）18．已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对任意的实数x都有f′（x）＝ex（2x+3）+f（x）（e是自然对数的底数），f（0）＝1，若不等式f（x）﹣k＜0的解集中恰有两个整数，则实数k的取值范围是（）A．[﹣，0）B．[﹣，0]C．（﹣，0]D．（﹣，0）评卷人得分二．填空题（共12小题）19．设函数f（x）＝lnx++2a，x∈[，a]，若函数f（x）的极小值不大于+2，则a的取值范围为20．若函数f（x）＝ex﹣ax2有极值点，则a的取值范围是．21．已知曲线f（x）＝x3在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则的值为．22．已知函数g（x）＝a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是．23．已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）＝4且f（x）导函数f′（x）＜3，则不第4页（共41页）等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为．24．已知f（x）＝ax3+3x2﹣1存在唯一的零点x0，且x0＜0，则实数a的取值范围是．25．已知函数f（x）＝x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是．26．已知函数f（x）＝ax+x2﹣xlna，对任意的x1、x2∈[0，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立，则实数a的取值范围为．27．已知f（x）＝sinx+2x，x∈R，且f（1﹣a）+f（2a）＜0，则a的取值范围是．28．设函数f（x）＝ax2+b（a≠0），若，则x0＝．29．已知函数f（x）＝﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是．30．已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是评卷人得分三．解答题（共10小题）31．已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在成立，求整数a的最小值．32．已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝x﹣1．（1）当k为何值时，直线y＝g（x）是曲线y＝kf（x）的切线；（2）若不等式在[1，e]上恒成立，求a的取值范围．33．已知函数f（x）＝x3+ax．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣xlnx在上有零点，求a的取值范围．34．设函数．（1）当m＝﹣1时，求函数F（x）＝f（x）+g（x）的零点个数第5页（共41页）（2）若∃x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜g（x0），求实数m的取值范围．35．已知a∈R，函数f（x）＝（﹣x2+ax）ex（x∈R）．（1）当a＝2时，求函数f（x）在[0，2]上的最值；（2）若函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，求a的取值范围．36．已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．37．已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．38．已知函数f（x）＝（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．39．设函数f（x）＝emx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．40．设函数f（x）＝（1﹣x2）ex．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．第6页（共41页）2019年10月03日157****5865的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．设曲线y＝a（x﹣1）﹣lnx在点（1，0）处的切线方程为y＝3x﹣3，则a＝（）A．1B．2C．3D．4【分析】求出函数的导数，得到切线的斜率，以及已知条件列出方程求解即可．【解答】解：因为，且在点（1，0）处的切线的斜率为3，所以a﹣1＝3，即a＝4．故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．2．定义在R上的函数f（x）满足f′（x）＞2，且f（1）＝3，则不等式f（x）＞2x+1的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）【分析】根据题意，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣1，求出其导数，分析可得g′（x）＞0，则g（x）在R上为增函数，又由f（1）＝3，则g（1）＝0，f（x）＞2x+1⇒f（x）﹣2x﹣1＞0⇒g（x）＞g（1），结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣1，则g′（x）＝f′（x）﹣2，又由f′（x）＞2，则g′（x）＞0，则g（x）在R上为增函数，又由f（1）＝3，则g（1）＝f（1）﹣2﹣1＝0，则f（x）＞2x+1⇒f（x）﹣2x﹣1＞0⇒g（x）＞g（1），分析可得x＞1，即不等式f（x）＞2x+1的解集为（1，+∞）；故选：C．【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性，注意构造新函数，属于综合题．3．已知函数f（x）的导函数f′（x）满足（x+xlnx）f′（x）＜f（x）对恒成立，则下列不等式中一定成立的是（）A．2f（1）＞f（e）B．e2f（1）＞f（e）C．2f（1）＜f（e）D．ef（1）＜f（e）第7页（共41页）【分析】令，可得＜0．可得g（x）在（，+∞）递减，即可求解．【解答】解：由（x+xlnx）f′（x）＜f（x），x∈（，+∞），得（1+lnx）f′（x）﹣f（x）＜0，令，则＜0．∴故g（x）在（，+∞）递减；∴g（e）＜g（1），即⇒f（e）＜2f（1）．故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．4．已知函数f（x）＝x2﹣3x+5，g（x）＝ax﹣lnx，若对∀x∈（0，e），∃x1，x2∈（0，e）且x1≠x2，使得f（x）＝g（xi）（i＝1，2），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】对∀x∈（0，e），f（x）的值域为[，5），g′（x）＝a﹣＝，推导出a＞0，g（x）min＝g（）＝1+lna，作出函数g（x）在（0，e）上的大致图象，数形结合由求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣3x+5，g（x）＝ax﹣lnx，x∈（0，e），∴f（x）min＝f（）＝＝，f（x）max→f（0）＝5，∴对∀x∈（0，e），f（x）的值域为[，5），g′（x）＝a﹣＝，第8页（共41页）当a≤0时，g′（x）＜0，与题意不符，∴a＞0，令g′（x）＝0，得x＝，则∈（0，e），∴g（x）min＝g（）＝1+lna，作出函数g（x）在（0，e）上的大致图象，如图，观察图形得到：，解得．∴实数a的取值范围是[，）．故选：C．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．5．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1在区间（﹣1，1）内存在极值点，且f（x）＜0恰好有唯一整数解，则a的取值范围是（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）（）A．[，e）B．[，1）∪（e﹣1，]C．（e﹣1，e）D．[，）∪（e﹣1，e）【分析】推导出f′（x）＝ex﹣a＝0在（﹣1，1）上有解，从而＜a＜e，ex＜ax+1有唯一整数解．设g（x）＝ex，h（x）＝ax+1，当1＜a＜e时，唯一整数解为1，应满足第9页（共41页）当＜a＜1时，唯一整数解为﹣1，应满足由此能求出a的取值范围．【解答】解：由题意得，f′（x）＝ex﹣a＝0在（﹣1，1）上有解，∵f′（x）在（﹣1，1）上单调递增，∴＜a＜e，又∵f（x）＜0恰好有唯一整数解，即ex＜ax+1有唯一整数解．设g（x）＝ex，h（x）＝ax+1，结合题意可知：①若1＜a＜e，则唯一整数解为1，故应满足∴e﹣1＜a≤，故e﹣1＜a＜e；②若＜a＜1，则唯一整数解为﹣1，故应满足∴≤a＜，故≤a＜．由①②得a的取值范围为[，）∪（e﹣1，e）．故选：D．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查利用导数研究函数极值点问题、利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题等基础知识，考查分类讨论思想、化归与转化思想，考查运算求解能力，是难题．6．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（）