302-静电场的高斯定理

静电场的高斯定理1．选择题CDDBCCBABDBCDBC2．判断题错错错错错对错错3．填空题2ER；0；有源；0/Q；0.04V/m；120()qq；||cosES；0；int00Eqd；0；不变化；变化；变化；不可以；0；20d4SR。4．计算题1．一边长为a的立方体置于直角坐标系中，如图所示。现空间中有一非均匀电场12()EEkxiEj，1E、2E为常量，求：电场对立方体各表面的电场强度通量。答案：参见图。由题意E与Oxy面平行，所以对任何与Oxy面平行的立方体表面。电场强度的通量为零。即OABCDEFG0ΦΦ2分而2221ABGF]d[])[(daEjSjEikxESEΦ2分考虑到面CDEO与面ABGF的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有2CDEOABGF2ΦΦEa2分同理2121AOEF]d[][daEiSjEiESEΦ2分2121BCDG)(]d[])[(dakaEiSjEikaESEΦ2分2．一对无限长的均匀带电共轴直圆筒，内外半径分别为1R和2R，沿轴线方向上单位长度的电量分别为1和2。求（1）各区域内的场强分布；（2）若12，情况如何？画出此情形下的~Er的关系曲线。答案：（1）取同轴圆柱形高斯面，侧面积rlSπ2通量：lrESES2d1分RrS上S下S侧hr由高斯定理0intdqSES1分对1Rr的区域：0,0qE1分对21RrR的区域：1ql1分∴102πEr1分对2Rr的区域：12()ql1分∴1202πEr1分（2）当12时，由上问结果：1110202π0rRERrRrrR1分~Er的关系曲线:3．（1）地球表面的场强近似为200V/m，方向指向地球中心，地球的半径为66.3710m。试计算地球带的总电荷量。92-201910NmC4（2）在离地面1400m处，场强降为20V/m，方向仍指向地球中心，试计算这1400m厚的大气层里的平均电荷密度。答案：（1）设地球带的总电量为Q，大气层带电量为q。根据高斯定理，在地球表面处有204QER1分地球带的总电量为26250914200(6.3710)910(C)910QER2分（2）对与地球同心，半径是Rh（R是地球半径，1400mh）得高斯面，由高斯定理204()QqERh2分故1400m厚的大气层带电量为E1/rOR1ER2r012πR022πR262509514()20(6.37101400)9109108.110(C)qERhQ2分大气层的平均电荷密度为334[()]3qrhR由于Rh，故332()3RhRhR1分∴51232628.1101.1310(C/m)44(6.3710)1400qRh2分4．（1）（本题4分）如图，虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为：xEbx，0yE,0zE。高斯面边长0.1ma，常量1000N/(Cm)b。试求（1）该闭合面中包含的净电荷(真空介电常数122-1-208.8510CNm)；（2）（本题6分）一均匀带电无限大平板，厚度为d，电荷体密度为(0)，试用高斯定理求带电平板内外的电场强度。答案：（1）设闭合面内包含净电荷为Q。因场强只有x分量不为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不为零。由高斯定理得：11220QESES2分其中，212SSSa则20210210()()(2)QSEESbxxabaa31208.8510Cab2分（2）因为电荷相对平板的平分面MN对称，故场强分布相对于MN面具有对称性，且方相垂直于平板。即平面MN两侧对称位置场点E的大小相等，方向相反。作图示圆柱形高斯面，使底面过对称的场点，且平行于平板，由高斯定理：0int2dqSESES1分当2dx，int2qxS2分0xE1分当2dx，intqdS1分02dE1分5．有两个同心的均匀带电球面，半径分别为1R、2R)(21RR，若大球面的面电荷密度为，且大球面外的电场强度为零，求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。答案:（1）设小球面上的电荷密度为，在大球面外作同心的球面为高斯面，MNdEE△S由高斯定理：0'1220int4'4dRRqSES2分∵大球面外0E∴2221440RR2分解得：221()RR2分（2）大球面内各点的场强两个均匀带电球面场强的迭加:内部场强为零,外部相当点电荷在1rR区域：00021EEE2分在12RrR区域：2112204'04REEEr220rR2分6．（1）（本小题4分）用高斯定理求均匀带正电的无限大平面簿板的场强（设电荷的面密度为）；（2）（本小题6分）若A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度大小为0E，两平面外侧电场强度大小都为0/3E，方向如图．那么A、B两平面上的电荷面密度A,B各是多少？答案:1如图，选择圆柱面作为高斯面由高斯定理：00dSqSES2分而左底侧面右底SESESESESddddSE21分∴02E1分2由场强迭加原理，平面内、外侧电场强度由A,B共同贡献：外侧：0AB00223E2分内侧：AB00022E2分联立解得：A002/3E1分B004/3E1分7．一个“无限长”半径为R的空心圆柱面，均匀带电，沿轴线方向单位长度上的所带电荷为，分别求圆柱面内、外的电场强度E的大小。答案:作一半径为rR，高为h的同轴圆柱面为高斯面，由高斯定理可得：00intdhqSES3分即：02hEhr2分∴rE02（rR）1分作一半径rR，高为h的同轴圆柱面为高斯面，△SEERrS上S下S侧hrE0/3E0/3E0AB同理：00int0dqSES2分∴0E（rR）2分8．如图所示，一个均匀分布带电球层，电荷体密度为，球层内表面半径为R，外表面为2R，求：电场分布。答案:本题的电荷分布具有球对称性，因而电场分布也具有对称性，作同心球面为高斯面，由高斯定理0intdqSES由对称性可以得到ErSES24d1分对于不同的高斯面，电荷是不同的，结果如下0qrR1分334()23qrRRrR2分32823qRrR2分因而场强分布为0ErR1分3320()23rRERrRr2分320723RErRr1分9．均匀带电球壳内半径16cmR，外半径210cmR，电荷体密度为5-3210Cm。求：距球心15cmr、28cmr、312cmr各点的场强及方向（真空介电常数122-1-208.8510CNm）。答案:由高斯定理：0intdqSES，得：int204πqEr2分当5cmr时，int0q1分故：0E1分8cmr时，intq4π33(r31)R1分∴331204π34πrREr41048.31CN，方向沿半径向外2分12cmr时,int4π3q32(R31R）1分∴33214204π34.10104πRREr1CN沿半径向外.2分10．（1）（本小题5分）用高斯定理求均匀带正电的无限大平面簿板的场强（设电荷的面密度为）；（2）（本小题5分）两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1和2，试求空间各处场强。答案:1如图，选择圆柱面作为高斯面由高斯定理：00dSqSES2分而左底侧面右底SESESESESddddSE22分∴02E1分2如题图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1与2，两面间，1201()2En2分1面外，1201()2En2分2面外，1201()2En1分11．两个均匀带电的同心球面，半径分别为1R和2R，带电量分别为1q和2q。求（1）场强的分布；（2）当12qqq时，场强的分布。答案:（1）选择高斯面：选与带电球面同心的球面作为高斯面。由高斯定理：0intdqSES，得：int204πqEr2分当2rR时，int12qqq1分解得12204qqEr1分△SEES1O1R2R3S2S1S当12RrR时，int1qq1分解出2014rqE1分当1rR时，int0q1分解得0E1分（2）当12qqq时，由上面计算的结果，得场强的分布为2122010,,40,rRqERrRrrR2分