2015年高考理科数学试题汇编(含答案)三角函数大题

（江苏）15.（本小题满分14分）在ABC中，已知60,3,2AACAB.（1）求BC的长；（2）求C2sin的值.【答案】（1）7（2）437【解析】考点：余弦定理，二倍角公式（10）（安徽）已知函数sinfxx（，，均为正的常数）的最小正周期为，当23x时，函数fx取得最小值，则下列结论正确的是（）（A）220fff（B）022fff（C）202fff（D）202fff【答案】A考点：1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.（福建）19．已知函数f()x的图像是由函数()cosgxx=的图像经如下变换得到：先将()gx图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度.(Ⅰ)求函数f()x的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x的方程f()g()xxm+=在[0,2)p内有两个不同的解,ab．（1)求实数m的取值范围；（2)证明：22cos)1.5mab-=-(【答案】(Ⅰ)f()2sinxx=，(kZ).2xkpp=+?；(Ⅱ)（1）(5,5)-；（2）详见解析．【解析】试题分析：(Ⅰ)纵向伸缩或平移：()()gxkgx或()()gxgxk；横向伸缩或平移：()()gxgx（纵坐标不变，横坐标变为原来的1倍），()()gxgxa(0a时，向左平移a个单位；0a时，向右平移a个单位)；(Ⅱ)（1)由(Ⅰ)得f()2sinxx=，则f()g()2sincosxxxx+=+，利用辅助角公式变形为f()g()xx+5sin()xj=+（其中12sin,cos55jj==），方程f()g()xxm+=在[0,2)p内有两个不同的解,ab，等价于直线ym和函数5sin()yxj=+有两个不同交点，数形结合求实数m的取值范围；（2)结合图像可得+=2()2pabj-和3+=2()2pabj-，进而利用诱导公式结合已知条件求解．试题解析：解法一：(1)将()cosgxx=的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y2cosx=的图像，再将y2cosx=的图像向右平移2p个单位长度后得到y2cos()2xp=-的图像，故f()2sinxx=，从而函数f()2sinxx=图像的对称轴方程为(kZ).2xkpp=+?(2)1)21f()g()2sincos5(sincos)55xxxxxx+=+=+5sin()xj=+（其中12sin,cos55jj==）依题意，sin()=5mxj+在区间[0,2)p内有两个不同的解,ab当且仅当||15m，故m的取值范围是(5,5)-.2)因为,ab是方程5sin()=mxj+在区间[0,2)p内有两个不同的解，所以sin()=5maj+，sin()=5mbj+.当1m5£时，+=2(),2();2pabjabpbj--=-+当5m1-时,3+=2(),32();2pabjabpbj--=-+所以2222cos)cos2()2sin()12()11.55mmabbjbj-=-+=+-=-=-(解法二：(1)同解法一.(2)1)同解法一.2)因为,ab是方程5sin()=mxj+在区间[0,2)p内有两个不同的解，所以sin()=5maj+，sin()=5mbj+.当1m5£时，+=2(),+();2pabjajpbj-=-+即当5m1-时,3+=2(),+3();2pabjajpbj-=-+即所以cos+)cos()ajbj=-+(于是cos)cos[()()]cos()cos()sin()sin()abajbjajbjajbj-=+-+=+++++(22222cos()sin()sin()[1()]()1.555mmmbjajbj=-++++=--+=-考点：1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式．（湖南）17.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanabA，且B为钝角》(1)证明：2BA（2）求sinsinAC的取值范围【答案】（1）详见解析；（2）（22，98].【解析】试题分析：（1）利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为inB=sin（2+A），从而得证；（2）利用（1）中的结论，以及三角恒等变形，将CAsinsin转化为只与A有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解.试题解析：（1）由a=btanA及正弦定理，得sinsincoscosAbBAaB,所以sinB=cosA，即sinB=sin（2+A）.又B为钝角，因此2+A（2，A），故B=2+A，即B-A=2；（2）由（I）知，C=-（A+B）=-(2A+2)=2-2A0，所以A0,4，于是sinA+sinC=sinA+sin（2-2A）=sinA+cos2A=-22sinA+sinA+1=-2（sinA-14）2+98，因为0A4,所以0sinA22,因此22-22199sin488A由此可知sinA+sinC的取值范围是（22，98].考点：1.正弦定理；2.三角恒等变形；3.三角函数的性质.（四川）19.如图，A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.（1）证明：1costan;2sinAAA（2）若180,6,3,4,5,ACABBCCDADo求tantantantan2222ABCD的值.【答案】（1）详见解析；（2）4103.【解析】试题分析：（1）首先切化弦得sin2tan2cos2AAA，为了将半角变为单角，可在分子分母同时乘以2sin2A，然后逆用正弦与余弦的二倍角公式即可.（2）由题设知，该四边形的两对角互补.再结合（1）的结果，有tantantantan2222ABCD22sinsinAB，所以只需求出sin,sinAB即可.由于已知四边，且coscosCA，coscosDB，故考虑用余弦定理列方程组求cos,cosAB，从而求出sin,sinAB.试题解析：（1）2sin2sin1cos22tan2sincos2sincos222AAAAAAAA.（2）由180AC，得180,180CADB.由（1），有tantantantan2222ABCD1cos1cos1cos(180)1cos(180)sinsinsin(180)sin(180)ABABABAB22sinsinAB连结BD，在ABD中，有2222cosBDABADABADA，在BCD中，有2222cosBDBCCDBCCDC，所以222cosABADABADA222cosBCCDBCCDA，则2222222265343cos2()2(6534)7ABADBCCDAABADBCCD，于是223210sin1cos1()77AA.连结AC，同理可得2222222263541cos2()2(6354)19ABBCADCDBABBCADCD，于是221610sin1cos1()1919BB.所以tantantantan2222ABCD22sinsinAB142192102104103.考点：本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.