5.《直线与平面垂直的判定》教学设计

1《直线与平面垂直的判定》教学设计罗声立，陈捷（华南师范大学数学科学学院，广东广州510631）教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2第64页至66页课题：“2.3.1直线与平面垂直的判定”第一课时课时安排：1个课时教学对象：高一（上）学生教学目标：知识与技能：理解线面垂直的定义和判定定理，与判定定理的简单应用。过程与方法：通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的定义和判定的定理，学习“空间问题转化为平面问题”、“无限转化为有限”的化归思想方法，发展学生合情推理的能力。情感态度与价值观：让学生亲身经历数学研究的过程，体会事物间相互转化的思想，数学运用于实际的科学价值。教学重点：对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解。教学难点：概括线面垂直的定义和判定定理时如何将“线面垂直”转化为“线线垂直”。教学方法：采用“引导—探究式”教学方法,教学过程中突出“问”、“动”两方面。教学手段：几何画板、PPT、实物教学过程教学环节教学过程设计意图一、直线与平面垂直定义的建构1、复习旧知—引出概念（1）、空间直线与平面的位置关系相交垂直（特殊化）（2）、列举生活中垂直的现象。（也可展示图片或实物，如桌子与地面的位置关系）这些都给我们以直线与平面垂直的形象那么如何定义直线和平面垂直呢？由复习旧知自然引入概念，再列举生活中的例子，使学生对直线与平面垂直的概念获得一定的感性认识，化抽象为具体。2、观察归纳—形成概念让学生拿出书本，打开直立在桌面上,如图1所示，设桌面所在平面为，书脊所在的直线为m，各页面所在平面与的交线为il(i=1,2,…)问题：（1）直线m与直线il(i=1,2,…)是什么位置关系？学生亲自动手操作，结合几何直观感知，就能够在问题的引导下获得思路，利用转化的思想归纳出线面垂直的定义，并让学生体会到定义的本质是直线与直线垂直。图12ABCDC1B1A1D1ABCDC1B1A1D1ABCDC1B1A1D1ABCDC1B1A1D1ABCDC1B1A1D1ABCDC1B1A1D1ABCDC1B1A1D1ABCDC1B1A1D1ABCDC1B1A1D1ABCDC1B1A1D1ABCDC1B1A1D1ABCDC1B1A1D1ABCDC1B1A1D1ABCDC1B1A1D1ABCDC1B1A1D1ABCDC1B1A1D1αlP（2）直线m和内任意一条直线是什么位置关系?分析：让学生旋转书脊，使页面与桌面所成交线il的位置发生变化，让学生发现平面内所有与直线m相交的直线il都与直线m垂直；而平面内所有与直线m不相交的直线都可通过平移转化为与直线m相交，但垂直关系不变，从而得到平面内任意一条直线与直线m垂直。（3）由此你能得到什么启发，你觉得怎样能用你学过的知识给出线面垂直的定义。3、剖析概念—深化理解线面垂直的定义:如果一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，我们就说这条直线与这个平面相互垂直。记作：l⊥α.用符号语言表示为：用图像表示为：m问题（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？注：利用图2可较好地说明（1），（2）。注意定义的三种语言表示；通过两个问题的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念，突出关键词“任意”及辨析定义的“充要条件”，体会定义中蕴含的性质。二、直线与平面垂直的判定定理的探究1、分析实例—猜想定理观察在正方体ABCD－A1B1C1D1中直线与平面位置关系回答以下问题问题（1）如图3，正方体ABCD－A1B1C1D1中，线段BC和平面CDD1C1，线段A1C1和平面BDD1B1，线段BD1和平面ABCD，线段BC1和平面ABCD，哪几个是线面垂直的关系？你是如何判断的？(2)如何确定一个平面？如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直,此直线是否和平面垂直？和一个平面内的两条直线（平行与相问题（1）让学生认识到用定义判断直线与平面的垂直是很难做到，从而引出直线与平面的垂直判定定理的探索；问题（2）从确定平面的条件出发（无限有限），引出减少直线的条数的思考方向；问题（3）使学生在感性lA1B1C1D1BCDAlmlm图2图33交）垂直呢？(3)你认为保证直线与底面垂直的条件是什么？上猜想判定定理。2、动手实验—探究定理折纸实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），进行观察并思考：（1）折痕AD与桌面垂直吗？为什么折痕不一定与桌面垂直？分析：如果一条直线与平面不垂直，只需要在平面内找到一条直线与它不垂直就够了。（另一个角度理解定义）（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？分析：BD、DC在桌面所在的平面内，因此AD至少要是BC的高，如图4图4（3）为什么折痕与桌面是垂直的？分析：如图5，以折痕AD为轴转动纸片，来说明AD与桌面所在平面内过D点的所有直线都垂直；平面内不过D点的直线l，可以通过平移到过D点（直线'l），说明它们与AD都垂直，于是符合直线与平面垂直的定义．（课件动态演示或实物演示）（4）若不过顶点A翻折纸片呢？如图6（5）由此你能得到什么结论？由于新课标对线面垂直的判定定理，只要求直观感知、操作确认，注重合情推理。因而在探索线面垂直的判定定理过程中，安排学生动手实验、讨论交流，并通过理性的说理，增加了逻辑思维的成分，不失数学的严谨性。为引导学生对实验现象进行观察和分析，自己发现结论，精心设计了五个问题，层层深入地引导学生思考，经历试误，从特殊出发推广到一般，让学生体会到知识产生的过程。三角形纸片的折叠体现了有限与无限的相互转化，既有合情推理能力也有逻辑推理。_D_A_B__Cll'l图5图643、剖析定理—深化理解直线与平面垂直的判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（1）理解“两相交直线”，平行可以吗？分析：让学生举反例说明平行不可以，如图2。（2）再从图形语言和符号语言进行归纳符号语言：图形语言：（3）思考：如何严格证明此定理？（课后选做作业）让学生明确：合情推理后还必须经过严格的逻辑证明才能当作定理使用，体现数学的严谨性。（1）辨析关键词：“两相交直线”；（2）重视对三种语言（文字语言、符号语言、图形语言）的转换；（3)）虽然新课标不要求学生掌握线面垂直判定定理的证明，但其证明过程运用了构造法，有助于提高学生的思维能力，因此可作为课后选做题，满足学有余力学生的需求。三、直线与平面垂直判定定理的应用例1判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）如图7，正方体''''ABCDABCD中，棱'BB和底面ABCD垂直。（2）如图8，正三棱锥PABC中，M为棱BC的中点，则棱BC和平面PAM垂直。此题两问都是对判定定理的直接应用，第一问可观察得到，目的是强化定理的条件和对定理的准确表述；第二问要结合平面几何的知识，进一步强化对定理的理解。例2求证：如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直．分析：①文字语言图形语言符号语言②（求证）线面垂直判定线线垂直线面垂直定义（已知），因此在平面内作两条相交直线nm,即可。已知：ba//，a,求证：b．证明：在平面内作两条相交直线,mn，交点为A∵直线a∴,aman．∵//ab，∴mb，nb．∵m，n，m∩n=A此题是课本例题，改用文字表达，目的是锻炼学生三种语言相互转化的能力。注意分析解题思路，突出相交直线与垂线不一定要共点，并规范证明过程的书写。同时让学生掌握多一个判断线面垂直的方法。lnlmlPnmnm,,,lαmnpD'C'B'A'DCBAMPABCmnAba图7图85∴b．例3探究：现有一根旗杆，在旗杆顶端系有一根比旗杆长的升旗用的绳子，已知该旗杆和该绳子的长度，你手上有一条皮尺。现要检验旗杆是否与水平地面垂直，你有什么好办法？分析：如图9所示，要检验旗杆是否与地面垂直，只需要检验旗杆（设顶点为Q，与地面交点为O）与地面的两条相交直线是否垂直。拉紧绳子并把它的下端放在地面上，设交点为A点，因为旗杆和绳子长度已知，又能测定0A距离，由勾股定理逆定理可以断定△AOQ是否为直角三角形。重复上述步骤，选取另一个点B（要求点A、O、B不共线），同理可判断△BOQ是否为直角三角形。如果两次都测得直角三角形，则可断定旗杆垂直地面。思考：木工师傅是如何使用尺曲判断一根立柱是否和板面垂直？解答：用曲尺检查两次（注意曲尺靠板面的尺，两次不能在同一条直线上），如果立柱、板面都和曲尺的两条边完全吻合，便可断定立柱和板面垂直．此题具有很强的现实意义。让学生尝试用新学知识解决实际问题，体会数学并不只是一些人为的规定、法则，而是人们发现问题、解决问题的重要手段。四、总结反思1．知识点：线面垂直的定义、线面垂直的判定定理（注意：任意、相交）2．方法：判断直线与平面垂直的方法）：两平行直线间接法（例线判定定理：两条相交直定义法：任意直线23．数学思想：转化思想两条相交）有限（任意无限线线垂直）平面（线面垂直空间通过对知识、方法、数学思想三方面的小结，既使本节课所学内容系统化，又使学生了解到数学思想方法在解题中的地位和作用。五．作业布置1．在正方体1111DCBAABCD中，O是ABCD的中心，（1）若E、F分别是棱AB、BC的中点，求证OBBEF1平面（2）若P是棱1DD的中点，求证PACOB平面12．探究：如图10，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？四棱锥呢？3．（选做）严格证明线面垂直的判定定理。作业1：正方体中隐含很多线和面的平行与垂直关系，能够增强空间图形的直观性，有助于学生空间想象能力的形成；作业2：在不同的几何体中体会线面垂直关系，有利于发展学生的QOAB图9COBAP图106几何直观能力与推理论证能力；教学设计说明新课标中立体几何教材内容和教学要求都发生了较大的变化，不要求严格证明线面垂直的判定定理，只要求能通过“直观感知——操作确认——归纳总结”的认知规律掌握本节课的主要教学内容。因此本课在设计上采用了由感性到理性、从具体到抽象的教学策略，采用“引导—探究式”教学方法,教学过程中突出“问”、“动”两方面，具体体现在以下几方面：1、线面垂直的定义不直接给出。通过复习旧知识自然引入概念，再列举贴生活中的例子让学生在对概念有一定感性认识下，通过自己亲自动手操作实验，结合几何直观感知，在问题的引导下获得思路，自己归纳出定义。这样有利于学生对定义的本质的理解。2、判定定理的教学中，注重让学生体会通过自己的实践和思考获取知识的过程。让学生动手操作折纸实验的同时，精心设计了由五个问题组成的问题链，结合学生的思维发展变化不断追问，层层深入的引导学生思考。让学生经历试误，使学生对问题本质的思考逐步深入，从特殊出发推广到一般情况，最终获得数学结论。让学生经历知识产生的过程，注意把合情推理作为一个重要的推理方式融入到学生的学习过程中，同时通过理性的说理，增加了逻辑思维的成分，不失数学的严谨性。3、例题的设置有梯度，注重对学生数学能力的培养。例题1是定理的直接应用；例题2是课本的例题，特意改用文字表达，以锻炼学生文字语言、符号语言、图形语言相互转化的能力。例题3是一道实例探究题，具有很强的现实意义，让学生尝试用新学知识解决实际问题，体会数学并不只是一些人为的规定、法则，而是人们发现问题、解决问题的重要手段，培养学生解决实际问题的能力。4、小结从知识点、方法、思想三个层次进行归纳。既掌握知识的内在联系，又突出数学思想的重要性。有利于学生建立良好的认知图式、强化知识、促进迁移，提高学习效率，培养反思总结的习惯。致谢：感谢何小亚教授对本文的指导。参考文献[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（