Jordan标准型与矩阵可对角化(我的毕业论文)

安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文第1页共21页Jordan标准型与矩阵可对角化作者：徐朱城指导老师：宛金龙摘要本文以-矩阵的性质为基础,对角化问题为主线，推导出线性代数中最深刻的结论——Jordan标准型定理.然后,应用Jordan标准型定理去解决Hamilton-Cayley定理的证明,矩阵分解,线性微分方程组求解的问题.关键词矩阵对角化-矩阵Smith标准型Jordan标准型Hamilton-Cayley定理1引言n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.那么当只有mmn()个线性无关的特征向量时,A与对角阵是不相似的.对这种情况,我们“退而求其次”,寻找“几乎对角的”矩阵来与A相似.这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题.Jordan标准型是最接近对角的矩阵并且其有关的理论包含先前有关与对角阵相似的理论作为特例.此外,Jordan标准型的广泛应用涉及到Hamilton-Cayley定理的证明,矩阵分解,线性微分方程组的求解等等.2-矩阵由于Jordan标准型的求解与特征多项式有关,而从函数的角度看,特征多项式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵）,这就引出对-矩阵的研究.2.1-矩阵及其标准型定义1称矩阵()(())ijAf为-矩阵,其中元素()(1,2,,;1,2,,)ijfimjn为数域F上关于的多项式.定义2称n阶-矩阵()A是可逆的,如果有nABBAI安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文第2页共21页并称B()为()A的逆矩阵.反之亦然.定理[1]1矩阵()A可逆的充要条件是其行列式为非零的常数,即(())0detAc.证明：（1）充分性设=Ad是一个非零的数.*A表示()A的伴随矩阵,则1*dA也是一个-矩阵,且有1*1*AdAdAAI因此,()A是可逆的.(2)必要性设()A有可逆矩阵B(),则ABI两边取行列式有1ABI由于A与B都是多项式,而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项式,即都是非零常数.证毕.例题1判断-矩阵2+121=11A是否可逆.解虽然22+121=1=01A()A是满秩的,但A不是非零常数,因而()A是不可逆的.安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文第3页共21页注意与数字矩阵不同的是满秩矩阵未必是可逆的.这么定义可逆是有必要的,可逆的本质就是要保证变换的矩阵可以通过非零常数的倒数逆回去.定义3如果矩阵()A经过有限次的初等变换化成矩阵B()，则称矩阵()A与B()等价,记为AB定理2矩阵()A与B()等价的充要与条件是存在可逆矩阵QP、,使得QBPA证明因为AB,所以A()可以经过有限次初等变换变成B(),即存在初等矩阵12(),(),,()sPPP与初等矩阵12(),(),,()tQQQ使得1212()()()()()()()()stBPPPAQQQ令12()()()()sPPPP,12()()()()tQQQQ就是所要求的-矩阵.它们都是初等矩阵的乘积,从而使可逆的.证毕.引理1设-矩阵111212122212()()()()()()()=()()()nnmmmnaaaaaaAaaa的左上角元素11()0a,并且至少有一个()ija不能被11()a整除,则一定可安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文第4页共21页以找到一个与()A等价的矩阵,它的左上角元素不为零,且次数比11()a的次数低.定理3任意mn阶的-矩阵()A都必定可以通过初等变换找到一个与之等价的Smith标准型.1200rddDd()()()这里(())rankAr.非零对角元12r(),(),,()ddd是首一（首项系数为1）多项式，并且1()()(i1,2,,r1)iidd|例题[2]2求-矩阵22221()1+A的Smith标准型.解22222211100()000010000A即为所求的Smith标准型.2．2-矩阵的性质定义4矩阵()A的Smith标准型中的非零对角元安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文第5页共21页12r(),(),d()dd，称为()A的不变因子.定义5矩阵()A的所有非零k阶子式的首一（最高次项系数为1）最大公因式Dk称为()A的k阶行列式因子.定理4等价矩阵具有相同的秩和相同的各级行列式因子.证明设-矩阵()A经过一次行初等变换化为了B()，f()与g()分别是A()与B()的k阶行列式因子.需要证明fg()=().分3种情况讨论：（1）,ijAB()(),此时,B()的每个k阶子式或者等于A()的某个k阶子式,或者与A()的某个阶子式反号,所以,f()是B()的k阶子式的公因子,从而fg()|().（2）iAB(c)()(),此时,B()的每个k阶子式或者等于A()的某个k阶子式,或者等于A()的某个k阶子式的c倍.所以,f()是B()的k阶子式的公因式,从而fg()|().（3）ijAB()()(),此时,B()中那些包含i行与j行的阶子式和那些不包含i行的k阶子式都等于A()中对应的k阶子式；B()中那些包含i行但不包含j行的k阶子式,按i行分成两个部分,而等于A()的一个k阶子式与另一个k阶子式的()倍的和,,也就是A()的两个k阶子式的线性组合,所以,f()是的k阶子式公因式,从而fg()|().对于列变换,可以一样地讨论.总之,A()经过一系列的初等变换变成B()，那么fg()|().又由于初等变换的可逆性,B()经过一系列的初等变安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文第6页共21页换可以变成A(),从而也有gf()|().当A()所有的阶子式为零时,B()所有的k阶子式也就等于零；反之亦然.故A()与B()又相同的各阶行列式因子,从而有相同的秩.证毕.既然初等变换不改变行列式因子,所以,每个-矩阵与它的标准型有完全相同的行列式因子.而求标准型的矩阵是较为简单的,因而,在求一个-矩阵的行列式因子时,只要求出它的标准型的行列式因子即可.现在来计算标准型矩阵的行列式因子.设标准型为1200rddd()()()其中1,,idir()()是首项系数为1的多项式,且11,,1iiddir()|()(),其他的元素都是0.易证,在这种形式的矩阵中,如果有一个k阶子式包含的行与列的标号不完全相同,那么这个k阶子式一定为0.因此,为了计算k阶行列式因子,只要看由12,,,kiii有行与12,,,kiii列12kiiir(1)组成的k阶子式就可以了,而这个k阶子式等于12iiikddd()()().显然,这种k阶子式的最大公因式就是12kddd()()().定理5矩阵A()的Smith标准型是唯一的,并且111()()(),2,3,,()kkkDdDdkrD()().证明设()A的标准是安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文第7页共21页1200rddd()()().由于()A与1200rddd()()()等价，则它们有相同的秩与相同的行列式因子,因此,()A的秩就是标准型的主对角线上非零元素的个数r.()A的k阶子式因子就是12()1,2,,kkDdddkr()()()()于是211211()()()()rrrDDdDddDD()=(),()=,,()=.这说明A()的标准型的主对角线上的非零元素是被A()的行列式因子所唯一决定的,所以A()得标准型是唯一的.证毕.定理6矩阵()A与B()等价的充要条件是它们有相同的行列式因子（或相同的不变因子）.证明：上一个定理的证明给出了-矩阵的行列式因子与不变因子之间的关系.这个关系式说明行列式因子与不变因子是相互确定的.因此,说两个矩阵有相同的各阶行列式因子,就等于说它们有相同的各级不变因子.必要性已由定理1.2.1给出.充分性显然.事实上，若-矩阵()A与B()有相同的不变因子,则()A安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文第8页共21页与B()和同一个标准型等价,因而()A与B()等价.证毕.定义6矩阵()A的所有非常数不变因子的首项系数为1的不可约因式方幂的全体称为()A的初等因子.定理7矩阵()A与B()等价的充要条件是它们有相同的初等因子,并且秩相等.例题3求矩阵B的初等因子,其中11abbaabBbaabba=解:11abbaabIBbaabba=由于有两个5阶子式222311[()](),011abbbaaababababbaaaab是互素的,所以5=1D()从而14DD()==()=1安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文第9页共21页而又2236[(a)b]DIB()=所以B的不变因子为331566()()1,()(ab)(ab),dddD()所以B的初等因子为33(ab),(ab).3Jordan标准型与矩阵可对角化在掌握了-矩阵的基本概念:行列式因子、不变因子、初等因子基础上我们将进入Jordan标准型与矩阵可对角化理论的核心.3．1对角化的定义及判定定理定义7如果方阵A相似于对角阵,即存在可逆矩阵P和对角阵D,使得1APDP,则称A可对角化.定理[3]8(对角化定理)n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.事实上,1APDP,D为对角阵的充分必要条件是P的列向量是A的n个线性无关的特征向量.此时,D的对角线上的元素分别是A的对应于P中的特征向量的特征值.换句话说,A可对角化的充分必要条件是有n个线性无关的特征向量形成n的基,我们称这样的向量为特征向量基.证首先看到,若P是列为12,,,n的任一n阶矩阵,D是对角线元素为12,,,n的对角阵,那么1212,,,,,,nnAPAAAA（1）而安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文第10页共21页121122,,,nnnAPDP（2）现在假设A可对角化且1APDP,用P右乘等式两边,则有APPD.此时由（1）和（2）得121122,,,,,,nnnAAA（3）由列相等,有111222=,=,,=nnnAAA（4）因为P可逆,故P的列12,,,n必定线性无关.同样,因为这些12,,,n非零,（4）表示12,,,n是特征值,12,,,n是相应的特征向量.这就证明了定理中第一,第