2012年高三数学一轮复习资料第三章-基本初等函数(Ⅱ)第4讲--简单的三角恒等变换

-1-第4讲简单的三角恒等变换★知识梳理1．升降幂公式:1cos22cos2;1cos22sin22．同角正余弦化积公式22sincossin()axbxabx，其中sin22bab；cos=22aab★重难点突破1.重点：掌握利用三角恒等变换处理三角式化简，求值与证明等问题。2.难点：确定三角变换的方向及三角公式的合理运用.3.重难点：通过审题分析已知条件和待求结论之间角的差异，建立联系，使问题获解。（1）三角变换的基本思路是“变角、变名、变式”问题1:（07江苏）若1cos()5，3cos()5，则tantan_____．点拨：已知条件中的角是,，待求式中的角是,，故只需将条件展开，再由同角关系式来处理。由51sinsincoscos)cos(53sinsincoscos)cos(求出51sinsin52coscos21coscossinsintantan(2)处理三角式的化简、求值和证明问题的基本原则是“见平方就降次，见切割就化弦，充分利用同角关系式，关注符号定象限，象限定符号的特征”。问题2：已知5tancot2，ππ42，．求cos2和πsin(2)4的值．点拨：本题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。先将切化弦，再寻找角之间的关系。由5tancot,2得sincos5,cossin2则254,sin2.sin25因为(,),42所以2(,),223cos21sin2,5-2-sin(2)sin2.coscos2.sin44442322.525210★热点考点题型探析考点1:三角求值题的处理题型1.给角求值问题[例1]（山东省聊城一中2008—2009学年度上学期高三年级期末综合测试）不查表求值2cos10sin20cos20=．【解题思路】要注意到103020,然后用公式展开.【解析】原式=2cos(3020)sin203cos203cos20cos20．【名师指引】给角求值问题一般考虑通过变角凑出特殊解且设法将非特殊角抵消或约去,注意公式的顺用、逆用和变形用.【新题导练】1.(tan5°－cot5°)·20cos120sin解：原式=210tan10cot22．(08海南省)0203sin702cos10=（）A.12B.22C.2D.32【解析】22223sin703cos203(2cos201)22cos102cos102cos10，选C。答案：C题型2给式求值[例2](惠州市2009届高三第三次调研考试数学试题)已知02cos22sinxx．（1）求xtan的值；（2）求xxxsin)4cos(22cos的值．【解题思路】第(1)问注意到22xx,第(2)问对三角式化为x的表达式.解析：（1）由02cos22sinxx,22tanx，-3-3421222tan12tan2tan22xxx．（2）原式＝xxxxxsin)sin22cos22(2sincos22xxxxxxxsin)sin(cos)sin)(cossin(cosxxxsinsincos1cotx31()144．【名师指引】给式求值一般从分析角的关系入手.例3.(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)设向量(cos,sin),(cos,sin)ab，0,且若45ab，4tan3，求tan的值。【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系.解析:4coscossinsin54cos()5034tan()tan743tantan[()]341tan()tan241()43ab又03sin(-)=-53tan(-)=-44又tan=3【名师指引】三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换【新题导练】1.已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x.(Ⅰ)求f(4)的值；(Ⅱ)设∈(0，43)，f(2)＝51，求cos2的值.解析：（Ⅰ）∵f(x)=sin2x+cos2x,∴f(4)=sin2+cos2=1（Ⅱ）∵f(2)=sinα+cosα=51,∴1+sin2α=251,sin2α=2524,∴cos2α=257∵α∈（0，43π）∴2α∈（π，23π）∴cos2α0.-4-故cos2α=2572.已知向量a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，α∈（3π2π2，），且a⊥b．求tanα的值；解：（1）∵a⊥b，∴a·b＝0．而a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－43，或tanα＝12．∵α∈（3π2π2，），tanα＜0，故tanα＝12（舍去）．∴tanα＝－43．题型3.给式求角例4．(广东省揭阳市2008年第一次模拟考试)已知：向量(3,1)a，(sin2,bxcos2)x，函数()fxab，若()0fx且0x，求x的值；【解题思路】先由向量运算得出三角函数间的关系，再进一步处理。解析：∵()fxab＝3sin2cos2xx-由()0fx得3sin2cos20xx即3tan23x∵0,x022x∴2,6x或72,6x∴12x或712-【名师指引】给式求角问题可考虑先求出一种三角函数值，再精确估计角的范围再定角。例5．(2007·四川)已知0,1413)cos(,71cos且2,(Ⅰ)求2tan的值.（Ⅱ）求.【解题思路】由同角关系求出tan再求tan2；又结合角的范围定角。[解析]（Ⅰ）由1cos,072，得22143sin1cos177∴sin437tan43cos71，于是222tan24383tan21tan47143（Ⅱ）由02，得02-5-又∵13cos14，∴221333sin1cos11414由得：coscoscoscossinsin113433317147142,所以3【名师指引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。【新题导练】3．已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（sin3,cos3）.若)0,(，且BCAC，求角的大小；解析：（Ⅰ）由已知得：2222)4sin3(cos9sin9)4cos3(则cossin因为)0,(434．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且tan21tanAcBb，求角A；解析：tan2sincos2sin11tansincossinAcABCBbBAB，即sincossincos2sinsincossinBAABCBAB，∴sin()2sinsincossinABCBAB，∴1cos2A．∵0πA，∴π3A．考点2:三角式的化简与证明题型1:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换进行化简求值.例1.化简222cos12tan()sin()44【解题思路】对三角函数式化简结果的一般要求：①函数种类最少；②项数最少；③函数次数最低；④能求值的求出值；⑤尽量使分母不含三角函数；⑥尽量使分母不含根式.[解析]原式=222cos12sin()4cos()4cos()4=22cos12sin()cos()44=22cos1cos21cos2cos2【名师指引】在三角式的化简方向一般为降次,消项.-6-例2:证明tan3x2－tanx2＝2sinxcosx＋cos2x【解题思路】细心观察已知等式中的角，发现它们有隐含关系：3x2＋x2＝2x，3x2－x2＝x3x2－x2＝x∴sinx＝sin3x2cosx2－cos3x2sinx2①又cosx＋cos2x＝2cos3x2cosx2②①÷②即得：2sinxcosx＋cos2x＝sin3x2cos3x2－sinx2cosx2＝tan3x2－tanx2.【名师指引】三角恒等式的证明在高考中出现较少,方法与化简类似.【新题导练】5．22sin2cos1cos2cos2=（）A、tanB、tan2C、1D、12B［解析］2222222sin2cos22sincoscos2tantan21cos2cos212cos1cossin1tan6．求证:2224tan2(1tan2)2sin23sin4sin8(1+tan2).=2sin430（）证明:左边=222sin23sin4-sin4cos4sin8=2(2sin21)3sin4=3sin4cos4=312(sin4cos422）=2sin430（）=右边[方法技巧]利用万能公式得出221tan21+tan2=cos4，22tan21+tan2=sin4可简化过程.★抢分频道基础巩固训练1已知(,0)2x，4cos5x，则x2tan（）A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆247B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆247C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆724D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆724解析：D(,0)2x，24332tan24cos,sin,tan,tan25541tan7xxxxxx-7-2.(汕头金山中学2008～2009学年度上学期高三期末考试)已知(,)2，且54cos，则sin2等于（）A.725B.2425C.725D.2425解析：由54cos且(,)2知3sin5故sin22sincos=2425选B3．（广东深圳外国语学校2008—2009学年高三第二次月考）已知53sin，则2sin的值为（）A．54B．54C．54D．53解析：2sincos