《2014届数学一轮高考核动力》(新课标)高考数学(文)一轮强化突破训练(16)

一、选择题1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为()A．63B．64C．127D．128【答案】C【解析】设数列{an}的公比为q(q0)，则有a5＝a1q4＝16，所以q＝2，数列的前7项和为S7＝a1－q71－q＝1－271－2＝127.故选择C.2．(2009高考海南卷·理)等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4＝()A．7B．8C．15D．16【答案】C【解析】不妨设数列{an}的公比为q，则4a1,2a2，a3成等差数列可转化为2(2q)＝4＋q2，得q＝2.S4＝1－241－2＝15.故选择C.3．(2011天津卷·理)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为()A．－110B．－90C．90D．110【答案】D【解析】∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，又∵a7是a3与a9的等比中项，∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，解得a1＝20.∴S10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110.4．已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于()A．30B．45C．90D．186【答案】C【解析】由等差数列{an}易得公差d1＝3.又bn＝a2n，所以{bn}也是等差数列，公差d2＝6.S5＝b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5×6＋5×42×6＝90.5．(2010浙江卷·理)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝()A．11B．5C．－8D．－11【答案】D【解析】设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，依题意知8a1q＋a1q4＝0，a1≠0，则q3＝－8，故q＝－2，所以S5S2＝1－q51－q2＝1＋321－4＝－11.故选择D.二、填空题6．(2011安徽卷·理)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是.【答案】15【解析】由T＝T＋k可知T是一个累加变量，原题实质为求1＋2＋3＋…＋k的和，其和为kk＋2.令kk＋2≤105，得k≤14.故当k＝15时，T＝1＋2＋3＋…＋15＝120105，此时输出k＝15.7．设Sn为等差数列的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，则S9＝.【答案】54【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，则S4＝4a1＋6d＝14，①S10＝10a1＋45d，S7＝7a1＋21d，则S10－S7＝3a1＋24d＝30，②解①、②可得d＝1，a1＝2.故S9＝9a1＋36d＝18＋36＝54.8．等比数列{an}的前n项和Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为.【答案】13【解析】设数列{an}的公比为q≠0，所以S1＝a1，S2＝a1＋a1q，S3＝a1＋a1q＋a1q2，所以4a1(1＋q)＝a1＋3a1＋3a1q＋3a1q2，因为a1≠0，所以3q2－q＝0，又因为q≠0，所以q＝13.三、解答题9．(2011高考福建卷·文)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n.[来源:学科网]所以Sn＝n[1＋－2n2＝2n－n2.进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35，[来源:Zxxk.Com]即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7为所求结果．10．已知数列{an}、{bn}满足a1＝2，b1＝1，且an＝34an－1＋14bn－1＋1，bn＝14an－1＋34bn－1＋1.(n≥2)(1)令cn＝an＋bn求数列{cn}的通项公式；(2)求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn.【解析】(1)由题设得an＋bn＝(an－1＋bn＋1)＋2(n≥2)，即cn＝cn－1＋2(n≥2)．易知{cn}是首项为a1＋b1＝3，公差为2的等差数列，通项公式为cn＝2n＋1.(2)由题设得an－bn＝12(an－1－bn－1)(n≥2)，令dn＝an－bn，则dn＝12dn－1(n≥2)．易知{dn}是首项为a1－b1＝1，公比为12的等比数列，通项公式为dn＝12n－1.由an＋bn＝2n＋1，an－bn＝12n－1，解得an＝12n＋n＋12.求和得Sn＝－12n＋n22＋n＋1.11．(2009高考广东卷·文)已知点1，13是函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)的图像上的一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c.数列{bn}(bn0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝Sn＋Sn－1(n≥2)．(1)求数列{an}和{bn}通项公式；(2)若数列1bnbn＋1的前n项和为Tn，问满足Tn10002009的最小正整数n是多少？【解析】(1)∵点1，13是函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)的图像上的一点，∴f(1)＝a＝13.已知等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，则当n≥2时，an＝[f(n)－c)]－[f(n－1)－c]＝an(1－a－1)＝－23n.∵{an}是等比数列，∴{an}的公比q＝13.∴a2＝－29＝a1q＝(f(1)－c)×13，解得c＝1，a1＝－23.故an＝－23n(n≥1)．由题设知{bn}(bn0)的首项b1＝c＝1，其前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝Sn＋Sn－1(n≥2)，由Sn－Sn－1＝Sn＋Sn－1⇒Sn－Sn－1＝1，且S1＝b1＝1.∴{Sn}是首项为1，公差为1的等差数列，即Sn＝n⇒Sn＝n2.∵bn＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，又b1＝1＝2×1－1，故数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1(n≥1)．(2)∵bn＝2n－1(n≥1)，∴1bnbn＋1＝1212n－1－12n＋1.∴Tn＝k＝1n1bkbk＋1＝1211－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝n2n＋1.要Tn10002009⇔n2n＋110002009⇔n10009＝11119.故满足条件的最小正整数n是112.[来源:学+科+网Z+X+X+K]12．设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝13(an－1＋2an－2)(n＝3,4，…)．数列{bn}满足b1＝1，bn(n＝2,3，…)是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有－1≤bm＋bm＋1＋…＋bm＋k≤1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)记cn＝nanbn(n＝1,2，…)，求数列{cn}的前n项和Sn.【解析】(1)由an＝13(an－1＋2an－2)得an－an－1＝－23(an－1－an－2)(n≥3)．又a2－a1＝1≠0，所以数列{an＋1－an}是首项为1公比为－23的等比数列，an＋1－an＝－23n－1，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋－23＋－232＋…＋－23n－2[来源:Z|xx|k.Com]＝1＋1－－23n－11＋23＝85－35－23n－1，由－1≤b1＋b2≤1，－1≤b2≤1，b2∈Z，b2≠0，得b2＝－1；由－1≤b2＋b3≤1，－1≤b3≤1，b3∈Z，b3≠0，得b3＝1，…同理可得当n为偶数时，bn＝－1；当n为奇数时，bn＝1.因此bn＝1，当n为奇数时，－1，当n为偶数时.(2)cn＝nanbn＝85n－35n23n－1，当n为奇数时，－85n－35n23n－1，当n为偶数时.Sn＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋cn.当n为奇数时，Sn＝85－2×85＋3×85－4×85＋…＋85n－351×230＋2×231＋3×232＋4×233＋…＋n23n－1＝n＋5－351×230＋2×231＋[来源:Zxxk.Com]3×232＋4×233＋…＋n23n－1.当n为偶数时，Sn＝85－2×85＋3×85－4×85＋…－85n－351×230＋2×231＋3×232＋4×233＋…＋n23n－1＝－4n5－351×230＋2×231＋3×232＋4×233＋…＋n23n－1.令Tn＝1×230＋2×231＋3×232＋4×233＋…＋n23n－1，①①×23得：23Tn＝1×231＋2×232＋3×233＋4×234＋…＋n23n，②①－②得：13Tn＝1＋231＋232＋233＋234＋…＋23n－1－n23n＝1－23n1－23－n23n＝3－(3＋n)23n，所以Tn＝9－(9＋3n)23n，因此Sn＝4n－235＋n＋523n，当n为奇数时，－4n＋275＋n＋523n，当n为偶数时.