《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修5第二章《数列》习题课数列求和

习题课数列求和一、基础过关1．数列12·5，15·8，18·11，…，13n－1·3n＋2，…的前n项和为()A.n3n＋2B.n6n＋4C.3n6n＋4D.n＋1n＋22．已知数列{an}的通项an＝2n＋1，由bn＝a1＋a2＋a3＋…＋ann所确定的数列{bn}的前n项之和是()A．n(n＋2)B.12n(n＋4)C.12n(n＋5)D.12n(n＋7)3．如果一个数列{an}满足an＋an＋1＝H(H为常数，n∈N*)，则称数列{an}为等和数列，H为公和，Sn是其前n项的和，已知等和数列{an}中，a1＝1，H＝－3，则S2011等于()A．－3016B．－3015C．－3014D．－30134．已知数列{an}前n项和为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值是()A．13B．－76C．46D．765．数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an等于()A．2n－1B．2n－1－1C．2n＋1D．4n－16．一个数列{an}，其中a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项是________．7．在数列{an}中，an＋1＝2an2＋an对所有正整数n都成立，且a1＝2，则an＝______.8．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.二、能力提升9．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n，则an等于()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn10．数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝13Sn(n≥1)，则an＝____________.11．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式an和前n项和Sn.12．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.三、探究与拓展13．等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.答案1．B2.C3.C4.B5.A6．－67.2n8．解(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋nn－12×2＝n2＋2n.所以，an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.(2)由(1)知an＝2n＋1，所以bn＝1a2n－1＝12n＋12－1＝14·1nn＋1＝14·1n－1n＋1，所以Tn＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝14·(1－1n＋1)＝n4n＋1，即数列{bn}的前n项和Tn＝n4n＋1.9．A[∵an＋1＝an＋ln1＋1n，∴an＋1－an＝ln1＋1n＝lnn＋1n＝ln(n＋1)－lnn.又a1＝2，∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[ln2－ln1＋ln3－ln2＋ln4－ln3＋…＋lnn－ln(n－1)]＝2＋lnn－ln1＝2＋lnn．]10.1，n＝113·43n－2，n≥211．(1)证明∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1an＋1＝2an＋1＋1an＋1＝2an＋2an＋1＝2an＋1an＋1＝2，∴数列{an}是等比数列，公比为2，首项为a1＋1＝2.(2)解由(1)知{an＋1}为等比数列，∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝21－2n1－2－n＝2n＋1－n－2.12．解(1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，①从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．13．解(1)当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意；因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3.故an＝2·3n－1.(2)因为bn＝an＋(－1)nlnan＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln2＋(n－1)ln3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3所以当n为偶数时，Sn＝2×1－3n1－3＋n2ln3＝3n＋n2ln3－1；当n为奇数时，Sn＝2×1－3n1－3－(ln2－ln3)＋(n－12－n)ln3＝3n－n－12ln3－ln2－1.综上所述，Sn＝3n＋n2ln3－1，n为偶数，3n－n－12ln3－ln2－1，n为奇数.