【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练90

题组层级快练(九十)1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x′＝5x，y′＝3y后，曲线C变为曲线x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为()A．25x2＋9y2＝1B．9x2＋25y2＝1C．25x＋9y＝1D.x225＋y29＝1答案A2．极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为()A．(x＋12)2＋y2＝14B．x2＋(y＋12)2＝14C．x2＋(y－12)2＝14D．(x－12)2＋y2＝14答案D解析由ρ＝cosθ，得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2＝x.选D.3．极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为()A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆答案C4．设点M的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标为()A．(2，π3，3)B．(2，2π3，3)C．(2，4π3，3)D．(2，5π3，3)答案C5．(2015·北京西城一模)在极坐标系中，过点(2，π2)且与极轴平行的直线方程是()A．ρ＝0B．θ＝π2C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2答案D解析极坐标为(2，π2)的点的直角坐标为(0,2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y＝2，其极坐标方程为ρsinθ＝2，故选D.6．(2015·北京海淀期末练习)下列极坐标方程表示圆的是()A．ρ＝1B．θ＝π2C．ρsinθ＝1D．ρ(sinθ＋cosθ)＝1答案A解析ρ＝1化为直角坐标方程为x2＋y2＝1，表示圆心在原点，半径为1的圆，故A正确；θ＝π2化为直角坐标方程为x＝0(y≥0)，表示射线，故B不正确；ρsinθ＝1化为直角坐标方程为y＝1，表示直线，故C不正确；ρ(sinθ＋cosθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，表示直线，故D不正确．7．(2015·皖北协作区联考)在极坐标系中，直线ρ(3cosθ－sinθ)＝2与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标为()A．(2，π6)B．(2，π3)C．(4，π6)D．(4，π3)答案A解析ρ(3cosθ－sinθ)＝2可化为直角坐标方程3x－y＝2，即y＝3x－2.ρ＝4sinθ可化为x2＋y2＝4y，把y＝3x－2代入x2＋y2＝4y，得4x2－83x＋12＝0，即x2－23x＋3＝0，所以x＝3，y＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为(2，π6)，故选A.8．在极坐标系中，极坐标为(2，π6)的点到极点和极轴的距离分别为()A．1,1B．1,2C．2,1D．2,2答案C解析点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为ρ，ρ|sinθ|，所以点(2，π6)到极点和极轴的距离分别为2,2sinπ6＝1.9．在以O为极点的坐标系中，直线l的极坐标方程是ρcosθ－2＝0，直线l与极轴相交于点M，以OM为直径的圆的极坐标方程是()A．ρ＝2cosθB．ρ＝2sinθC．2ρ＝cosθD．ρ＝2＋cosθ答案A解析直线l：ρcosθ－2＝0的直角坐标方程是x＝2，直线l与x轴相交于点M(2,0)，以OM为直径的圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2－2x＋y2＝0，化为极坐标方程是ρ2－2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ.10．在极坐标系中，与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线的方程是()A．ρsinθ＝2B．ρcosθ＝2C．ρcosθ＝4D．ρcosθ＝－4答案B解析方法一：圆的极坐标方程ρ＝4sinθ即ρ2＝4ρsinθ，所以直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0.选项A，直线ρsinθ＝2的直角坐标方程为y＝2，代入圆的方程，得x2＝4，∴x＝±2，不符合题意；选项B，直线ρcosθ＝2的直角坐标方程为x＝2，代入圆的方程，得(y－2)2＝0，∴y＝2，符合题意．同理，以后选项都不符合题意．方法二：如图，⊙C的极坐标方程为ρ＝4sinθ，CO⊥Ox，OA为直径，|OA|＝4，直线l和圆相切，l交极轴于点B(2,0)，点P(ρ，θ)为l上任意一点，则有cosθ＝|OB||OP|＝2ρ，得ρcosθ＝2.11．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝π4(ρ0)所表示的图形的交点的极坐标是________．答案(1,0)，(2，π4)解析ρ＝2cosθ表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆，故圆心的极坐标为(1,0)．当θ＝π4时，ρ＝2，故交点的极坐标为(2，π4)．12．(2014·陕西)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin(θ－π6)＝1的距离是________．答案1解析ρsin(θ－π6)＝ρ(sinθcosπ6－sinπ6cosθ)＝1，因为在极坐标系中，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以直线可化为x－3y＋2＝0.同理点(2，π6)可化为(3，1)，所以点到直线距离d＝|3－3＋2|3＋1＝1.13．在极坐标系中，点M(4，π3)到曲线ρcos(θ－π3)＝2上的点的距离的最小值为________．答案2解析点M(4，π3)的直角坐标为M(2,23)，曲线ρcos(θ－π3)＝2，即ρ(12cosθ＋32sinθ)＝2，化为普通方程为x＋3y－4＝0.点M(2,23)到此直线的距离d＝|2＋23×3－4|1＋32＝2即为所求．14．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线4ρcosθ＋3ρsinθ＋a＝0相切，则a＝________.答案1或－9解析圆ρ＝2cosθ即ρ2＝2ρcosθ，即(x－1)2＋y2＝1，直线4ρcosθ＋3ρsinθ＋a＝0，即4x＋3y＋a＝0，已知圆ρ＝2cosθ与直线4ρcosθ＋3ρsinθ＋a＝0相切，∴圆心到直线的距离等于半径．即|4＋0＋a|42＋32＝1，解得a＝1或－9.15．(2015·广州综合测试一)在极坐标系中，直线ρ(sinθ－cosθ)＝a与曲线ρ＝2cosθ－4sinθ相交于A，B两点，若|AB|＝23，则实数a的值为________．答案－5或－1解析将直线ρ(sinθ－cosθ)＝a化为普通方程，得y－x＝a，即x－y＋a＝0，将曲线ρ＝2cosθ－4sinθ的方程化为普通方程，得x2＋y2＝2x－4y，即(x－1)2＋(y＋2)2＝5，圆心坐标为(1，－2)，半径长为r＝5.设圆心到直线AB的距离为d，由勾股定理可得d＝r2－|AB|22＝5－2322＝2，而d＝|1－－2＋a|12＋－12＝|a＋3|2＝2，所以|a＋3|＝2，解得a＝－5或a＝－1.16．已知极坐标方程C1：ρ＝10，C2：ρsin(θ－π3)＝6.(1)化C1，C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；(2)求C1，C2交点间的距离．答案(1)C1：x2＋y2＝100，C2：3x－y＋12＝0(2)16解析(1)由C1：ρ＝10，得ρ2＝100.∴x2＋y2＝100.所以C1为圆心在(0,0)，半径等于10的圆．由C2：ρsin(θ－π3)＝6，得ρ(12sinθ－32cosθ)＝6.∴y－3x＝12，即3x－y＋12＝0.所以C2表示直线．(2)由于圆心(0,0)到直线3x－y＋12＝0的距离为d＝|12|32＋－12＝610，所以直线C2被圆截得的弦长等于2102－62＝16.17．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．答案(1)x＋3y－2＝0，M(2,0)，N(233，π2)(2)θ＝π6，ρ∈R解析(1)由ρcos(θ－π3)＝1，得ρ(12cosθ＋32sinθ)＝1.从而C的直角坐标方程为12x＋32y＝1，即x＋3y＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)；当θ＝π2时，ρ＝233，所以N(233，π2)．(2)M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为(0，233)．所以P点的直角坐标为(1，33)，则P点的极坐标为(233，π6)．所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．18．(2014·辽宁)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．答案(1)C：x＝cost，y＝2sint(t为参数)(2)ρ＝34sinθ－2cosθ思路(1)利用相关点法先求出直角坐标方程，再写出参数方程．(2)先联立方程求出P1，P2两点的坐标，进而求出P1P2的中点坐标，得到与l垂直的直线方程，再化为极坐标方程．解析(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上点(x，y)，依题意，得x＝x1，y＝2y1.由x21＋y21＝1，得x2＋(y2)2＝1，即曲线C的方程为x2＋y24＝1.故C的参数方程为x＝cost，y＝2sint(t为参数)．(2)由x2＋y24＝1，2x＋y－2＝0，解得x＝1，y＝0或x＝0，y＝2.不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k＝12.于是所求直线方程为y－1＝12(x－12)．化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝34sinθ－2cosθ.(2015·广东肇庆一模)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(ρ0,0≤θ2π)，曲线C在点(2，π4)处的切线为l，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则l的直角坐标方程为________．答案x＋y－22＝0解析根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线ρ＝2⇒x2＋y2＝4，点(2，π4)⇒(2，2)．因为点(2，2)在圆x2＋y2＝4上，故圆在点(2，2)处的切线方程为2x＋2y＝4⇒x＋y－22＝0，故填x＋y－22＝0.