【高考总复习必备】2013年高考数学闯关密练特训8-7圆锥曲线的综合问题(理)新人教A版(含解析)

8-7圆锥曲线的综合问题(理)闯关密练特训1.(2012·潍坊教学质量监测)椭圆x24＋y23＝1的离心率为e，点(1，e)是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是()A．3x＋2y－4＝0B．4x＋6y－7＝0C．3x－2y－2＝0D．4x－6y－1＝0[答案]B[解析]依题意得e＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，则所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y－12＝－23(x－1)，即4x＋6y－7＝0，选B.2．(2011·宁波十校联考)已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于()A．3B．4C．32D．42[答案]C[解析]设A(x1,3－x21)，B(x2,3－x22)，由于A、B关于直线x＋y＝0对称，∴x1＝x22－3，3－x21＝－x2，解得x1＝－2，x2＝1，或x1＝1，x2＝－2，设直线AB的斜率为kAB，∴|AB|＝1＋k2AB|x1－x2|＝32.故选C.3．设F是抛物线C1：y2＝2px(p0)的焦点，点A是抛物线C1与双曲线C2：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()A．2B.3C.52D.5[答案]D[解析]由题意可知，抛物线C1的焦点为F(p2，0)，因为AF⊥x轴，则A(p2，±p)，不妨取A(p2，p)，则双曲线C2的渐近线的斜率为pp2＝ba，∴ba＝2，令a＝1，则b＝2，c＝a2＋b2＝5，∴e＝ca＝5.4．(2011·南昌检测)过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.22B.33C.12D.13[答案]B[解析]记|F1F2|＝2c，则|PF1|＝2c3，|PF2|＝4c3，所以椭圆的离心率为|F1F2||PF1|＋|PF2|＝2c2c3＋4c3＝33，选B.5．(2011·台州二模)已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则|AF||BF|的值为()A．5B．4C．3D．2[答案]C[解析]由题意设直线l的方程为y＝3(x－p2)，即x＝y3＋p2，代入抛物线方程y2＝2px中，整理得3y2－2py－3p2＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＝3p，yB＝－33p，所以|AF||BF|＝|yAyB|＝3.6．(2012·东北三校一模)已知直线y＝12x与双曲线x29－y24＝1交于A、B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝()A.49B.12C.23D．与P点位置有关[答案]A[解析]设点A(x1，y1)、B(x2，y2)、P(x0，y0)，则由y＝12x，x29－y24＝1，消去x得y2＝367，y1＋y2＝0，y1y2＝－367，(y1＋y0)(y2＋y0)＝y1y2＋y20＋y0(y1＋y2)＝y20－367，(x1＋x0)(x2＋x0)＝(2y1＋x0)(2y2＋x0)＝4y1y2＋x20＋2x0(y1＋y2)＝4y1y2＋x20＝x20－4×367＝9(y204＋1)－4×367＝94(y20－367)，x1＋x0y1＋y0·x2＋x0y2＋y0＝94.由x219－y214＝1x209－y204＝1得x21－x209＝y21－y204，即y1－y0x1－x0＝49·x1＋x0y1＋y0，同理有y2－y0x2－x0＝49·x2＋x0y2＋y0，于是有kPA·kPB＝y1－y0x1－x0·y2－y0x2－x0＝(49)2·x1＋x0y1＋y0·x2＋x0y2＋y0＝(49)2×94＝49，选A.7．已知过双曲线x2a2－y2b2＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．[答案](1，2)[解析]由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即ba1，∴c2－a2a21，∴c2a22，即e22，∵e1，∴1e2.8．设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆x2＋y24＝1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为2－1的点P的个数为________．[答案]3[解析]设与l平行且与椭圆相切的直线方程为y＝2x＋b，代入x2＋y24＝1中消去y得，8x2＋4bx＋b2－4＝0，由Δ＝16b2－32(b2－4)＝0得，b＝±22，显见y＝2x＋2与两轴交点为椭圆的两顶点A(－1,0)，B(0,2)，∵直线y＝2x＋22与l距离d＝22－25，∴欲使S△ABP＝12|AB|·h＝52h＝2－1，须使h＝22－25，∵d＝h，∴直线y＝2x＋22与椭圆切点，及y＝2x＋4－22与椭圆交点均满足，∴这样的点P有3个．9．已知F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a0，b0)的左焦点，若椭圆上存在点P，使得直线PF与圆x2＋y2＝b2相切，当直线PF的倾斜角为2π3时，此椭圆的离心率是________．[答案]277[解析]依题意得OP⊥PF，∵直线PF的倾斜角为2π3，∴∠OFP＝π3，∴sinπ3＝bc＝32，椭圆的离心率e＝ca＝cc2＋b2＝11＋bc2＝11＋322＝277.10．(2012·昆明一中测试)过抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在一点M，使得MA⊥MB，并说明理由．[解析](1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y＝－p2的距离，∴1＋p2＝2，∴p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)抛物线C的焦点为F(0,1)，直线l的方程y＝2x＋1，设点A、B、M的坐标分别为(x1，x214)、(x2，x224)、(x0，x204)，由方程组x2＝4yy＝2x＋1消去y得，x2＝4(2x＋1)，即x2－8x－4＝0，由韦达定理得x1＋x2＝8，x1x2＝－4.[来源:Zxxk.Com]∵MA⊥MB，∴MA→·MB→＝0，∴(x1－x0)(x2－x0)＋(x214－x204)(x224－x204)＝0，∴(x1－x0)(x2－x0)＋116(x1－x0)(x2－x0)(x1＋x0)(x2＋x0)＝0.∵M不与A，B重合，∴(x1－x0)(x2－x0)≠0，∴1＋116(x1＋x0)(x2＋x0)＝0，x1x2＋(x1＋x2)x0＋x20＋16＝0，∴x20＋8x0＋12＝0，∵Δ＝64－480.∴方程x20＋8x0＋12＝0有解，即抛物线C上存在一点M，使得MA⊥MB.能力拓展提升11.(2011·大纲全国理，10)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝()A.45B.35C．－35D．－45[答案]D[解析]方法一：联立y2＝4x，y＝2x－4，解得x＝4，y＝4，或x＝1，y＝－2，不妨设A在x轴上方，[来源:学科网ZXXK]∴A(4,4)，B(1，－2)，∵F点坐标为(1,0)，∴FA→＝(3,4)，FB→＝(0，－2)，cos∠AFB＝FA→·FB→|FA→|·|FB→|＝－85×2＝－45.方法二：同上求得A(4,4)，B(1，－2)，|AB|＝35，|AF|＝5，|BF|＝2，由余弦定理知，cos∠AFB＝|AF|2＋|BF|2－|AB|22·|AF|·|BF|＝－45.12.(2012·江西七校联考)如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2.则下列结论不正确的是()A．a1＋c1a2＋c2B．a1－c1＝a2－c2C．a1c2a2c1D．a1c2a2c1[答案]D[解析]依题意得，a1a2，c1c2，a1＋c1＞a2＋c2；两个椭圆的左焦点到左顶点的距离相等，即有a1－c1＝a2－c2；由a1a2，得1a11a2，又a1－c1＝a2－c2，因此a1－c1a1a2－c2a2，即有c2a2c1a1，a1c2a2c1.因此，不正确的结论是D，选D.13．若直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有公共点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x27＋y25＝1的公共点的个数是()A．0B．1C．2D．无法确定[答案]C[解析]因为直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有公共点，所以5m2＋n25，即m2＋n25，所以点P(m，n)在圆x2＋y2＝5的内部，而该圆在椭圆x27＋y25＝1内部，故点P(m，n)在椭圆x27＋y25＝1的内部，所以过点P(m，n)的直线与椭圆x27＋y25＝1一定相交，故公共点的个数是2.14．(2012·安徽文，14)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.[答案]32[解析]本题考查抛物线定义、直线与抛物线的位置关系．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可知x1＋1＝3，x1＝2，∴A(2,22)，则直线AF斜率为k＝22－02－1＝22，所以AB方程为y＝22(x－1)，由y2＝4x，y＝22x－，联立消去y得，2x2－5x＋2＝0，解之得x1＝2，x2＝12，∴B(12，－2)，所以|BF|＝x2＋1＝12＋1＝32.15．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．(1)求椭圆的方程；(2)当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；(3)在线段OF上是否存在点M(m,0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析](1)由已知，椭圆方程可设为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴b＝c＝1，a＝2.所求椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)右焦点F(1,0)，直线l的方程为y＝x－1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由x2＋2y2＝2，y＝x－1，消去x得，3y2＋2y－1＝0，解得y1＝－1，y2＝13.∴S△POQ＝12|OF|·|y1－y2|＝12|y1－y2|＝23.(3)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0m1)，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．由x2＋2y2＝2y＝kx－可得，(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.[来源:学科网ZXXK]∴x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－21＋2k2.MP→＝(x1－m，y1)，MQ→＝(x2－m，y2)，PQ→＝(x2－x1，y2－y1)．其中x2－x1≠0以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形⇔(MP→＋MQ→)⊥PQ→⇔(MP→＋MQ→)·PQ→＝0⇔(x1＋x2－2m，y1＋y2)·(x2－x1，y2－y1)＝0⇔(x1＋x2－2m)(x2－x1)＋(y1＋y2)(y2－y1)＝0⇔(x1＋x2－2m)＋k(y1＋y2)＝0⇔4k21＋2k2－2m＋k24k21＋2k2－2＝0⇔2k2－(2＋4k2)m＝0⇔m＝k21＋2k2(k≠0)．∴0m12.16．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为32，其中A(0，－b)，B(a,0)．(1)求双曲线的标准方程；(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点．若点M在