【成才之路】2012-2013高中数学3-5-4第4课时简单的线性规划习题课同步检测新人教B版必修5

13.5第4课时简单的线性规划习题课基础巩固一、选择题1．(x－2y＋1)(x＋y－3)0表示的平面区域为()[答案]C[解析]将点(0,0)代入不等式，符合题意，否定A、B，代入(0,4)点，符合题意，舍去D，故选C.2．若不等式组x－y≥02x＋y≤2y≥0x＋y≤a，表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()A．a≥43B．0a≤1C．1≤a≤43D．0a≤1或a≥43[答案]D[解析]由图形知，要使平面区域为三角形，只需直线l：x＋y＝a在l1、l2之间或在l3上方．23．在坐标平面上，不等式组y≥x－1，y≤－3|x|＋1所表示的平面区域的面积为()A.2B.32C.322D．2[答案]B[解析]不等式组y≥x－1y≤－3|x|＋1的图形如图．解得：A(0,1)D(－1,0)B(－1，－2)C(12，－12)∴S△ABC＝12×|AD|×|xC－xB|＝12×2×(12＋1)＝32，故选B.4．已知变量x、y满足约束条件x－y＋2≤0x≥1x＋y－7≤0，则yx的取值范围是()A.95，6B.－∞，95∪[6，＋∞)3C．[3,6]D．(－∞，3]∪[6，＋∞)[答案]A[解析]由约束条件画出可行域如图，yx可看作是点(x，y)与原点连线的斜率，所以yx∈[kOC，kOA]＝95，6.5．若变量x，y满足2x＋y≤40x＋2y≤50x≥0y≥0，则z＝3x＋2y的最大值是()A．90B．80C．70D．40[答案]C[解析]由2x＋y≤40x＋2y≤50x≥0y≥0得可行域如图所示．将l0：3x＋2y＝0在可行域内平行移动，移动到B点可得z＝3x＋2y的最大值．由x＋2y＝502x＋y＝40，得B点坐标为(10,20)，∴zmax＝3×10＋2×20＝70，故选C.46．已知变量x、y满足约束条件y＋x－1≤0，y－3x－1≤0，y－x＋1≥0，则z＝2x＋y的最大值为()A．4B．2C．1D．－4[答案]B[解析]作出如图可行域．根据图形知在点B处取得最大值．zmax＝2×1＋0＝2.二、填空题7．若实数x，y满足不等式组x＋y≥2，2x－y≤4，x－y≥0.则2x＋3y的最小值是________．[答案]4[解析]画出可行域如图所示(图中阴影部分)：5当直线l0平移到过A(2,0)点时，2x＋3y取最小值．(2x＋3y)min＝2×2＋0＝4.8．由直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)用不等式可表示为______．[答案]x＋y＋2≥0x＋2y＋1≤02x＋y＋1≤0[解析]∵三角形区域在直线x＋y＋2＝0的右上方，又原点在直线x＋y＋2＝0的右上方，且0＋0＋20，∴三角形区域在x＋y＋2≥0的区域，同理可确定三角形区域在x＋2y＋1≤0和2x＋y＋1≤0的区域内．故该平面区域用不等式表示为x＋y＋2≥0x＋2y＋1≤02x＋y＋1≤0.三、解答题9．已知x－y＋2≥0x＋y－4≥02x－y－5≤0，求：(1)z＝x＋2y－4的最大值；(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值．[解析]作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．6(1)易知可行域内各点均在直线x＋2y－4＝0的上方，故x＋2y－40，将C(7,9)代入z得最大值为21.(2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值为|MN|2＝92.能力提升一、选择题1．不等式组x≥0x＋3y≥43x＋y≤4所表示的平面区域的面积等于()A.32B.23C.43D.34[答案]C[解析]不等式组表示的平面区域如图所示，由x＋3y＝43x＋y＝4，得点A坐标为(1,1)．又B、C两点坐标分别为(0,4)、0，43，∴S△ABC＝12×4－43×1＝43.72．设变量x、y满足约束条件x－y≥－1x＋y≥13x－y≤3，则目标函数z＝4x＋y的最大值为()A．4B．11C．12D．14[答案]B[解析]画出可行域可知目标函数最优解为A(2,3)，所以ymax＝4×2＋3＝11.二、填空题3．设变量x、y满足约束条件x－y＋3≥0x＋y≥0－2≤x≤3，则目标函数2x＋y的最小值为________．[答案]－32[解析]设z＝2x＋y，画出可行域如图，最优解为M－32，32，zmin＝－32.84．图中阴影部分的点满足不等式组x＋y≤5，2x＋y≤6，x≥0，y≥0，在这些点中，使目标函数k＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．[答案](0,5)[解析]∵直线k＝6x＋8y即y＝－34x＋k8的斜率k1＝－34＞－1.故经过点(0,5)时．直线的纵截距k8最大．从而k最大．三、解答题5．已知f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．[分析]这是一个不等式问题，似乎与二元一次不等式表示的平面区域无关，但仔细分析后可发现，本题的实质是：已知实数a、c满足不等式组－4≤a－c≤－1，－1≤4a－c≤5.求9a－c的最值，此即线性规划问题，因此可以用线性规划的方法求解．[解析]由已知得－4≤a－c≤－1，－1≤4a－c≤5.即a－c≥－4，a－c≤－1，4a－c≥－1，4a－c≤5；目标函数f(3)＝9a－c.令z＝9a－c作出可行域，如图9由图可知，目标函数z＝9a－c分别在点A、B处取得最值．由4a－c＝－1，a－c＝－1，得A(0,1)．由a－c＝－4，4a－c＝5，得B(3,7)．将两组解分别代入z＝9a－c中得z的两个最值分别为－1和20.∴－1≤z≤20，∴f(3)的取值范围为[－1,20]．6．关于x的方程x2＋ax＋2b＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，求b－2a－1的取值范围．[解析]b－2a－1可以转化为点(a，b)与M(1,2)连线的斜率．由题知x2＋ax＋2b＝0两根在(0,1)与(1,2)内，可令f(x)＝x2＋ax＋2b.必满足f(0)0，f(1)0，f(2)0，即b01＋a＋2b02＋a＋b0，由线性规划可知：点M(1,2)与阴影部分连线的斜率k的取值范围为kAMkkBM，∵A(－3,1)，B(－1,0)，10∴14b－2a－11.