【2016成才之路】(人教B版)数学必修1课件第二章函数41函数的零点

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教B版·必修1第二章函数成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1函数第二章第二章函数成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修12.4函数与方程第二章2.4.1函数的零点第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1课堂典例讲练2易错疑难辨析3课后强化作业5课前自主预习1思想方法技巧4第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1课前自主预习第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1《三国志·魏书》记载：“邓哀王冲字仓舒，少聪察歧嶷，生五、六岁，智意所及，有若成人之智，时孙权曾致巨象，太祖(曹操)欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：‘置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．’太祖大悦，即施行焉．”这就是千古传诵，妇嬬皆知的曹冲称象的故事，抛除物理中的浮力原理，这其中就运用了转化的思想，那么，在函数和方程中是否也有类似的转化呢？第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修11．函数零点的概念一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的________．因此，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的_________，从图象上看，函数f(x)的零点，就是它的图象与_______交点的_________．零点实数根x轴横坐标第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修12．正确理解函数的零点(1)函数的零点不是“点”，而是一个“______”，当函数的自变量取这个实数时，函数值为零．(2)函数是否有零点是针对方程是否有________而言的，若方程没有________，则函数没有零点．反映在图象上就是函数图象与x轴________．实数实数根实数根无交点第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修11．函数f(x)＝2x2－3x－9的零点为()A．32，－3B．－32，0，(3,0)C．32，0，(3,0)D．－32，3[答案]D[解析]函数f(x)＝2x2－3x－9的零点，就是方程2x2－3x－9＝0的实数根，∴x＝－32或3.第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修12．已知二次函数f(x)＝ax2＋6x－1有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A．a－9且a≠0B．a－9C．a－9D．a0或a0[答案]A[解析]由题意可知f(x)＝0有两个根，∴a≠0Δ＝36＋4a0，∴a－9且a≠0.第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修13．下列各图象表示的函数中没有零点的是()[答案]D[解析]选项D中，函数图象与x轴没有交点，故该函数没有零点．第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修14．函数f(x)＝3x2－2x－1的零点是________．[答案]－13和1[解析]令3x2－2x－1＝0，得x1＝－13，x2＝1，故函数f(x)的零点是－13和1.第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修15．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是__________．[答案]－12和－13[解析]由题设，方程x2－ax－b＝0两根为2和3，∴a＝5，b＝－6，∴g(x)＝－6x2－5x－1，由－6x2－5x－1＝0得g(x)的零点是－12和－13.第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修16．函数f(x)＝x2＋kx－2k2的顶点在直线x＝2上，求f(x)的零点．[解析]f(x)的顶点(－k2，－9k24)在直线x＝2上，∴k＝－4，由x2－4x－32＝0，得f(x)的零点为－4和8.第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1课堂典例讲练第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1求下列函数的零点：(1)y＝x－1；(2)y＝x2－x－6.[分析]把每一个函数解析式因式分解，化为几个因式之积的形式，最好为一次因式，然后令每一个因式等于零再解．求函数的零点第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1[解析](1)令y＝x－1＝0，得x＝1，∴函数y＝x－1的零点是1.(2)y＝x2－x－6＝(x－3)(x＋2)，令(x－3)(x＋2)＝0，得x＝－2或x＝3，∴函数y＝x2－x－6的零点是－2和3.第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1求函数y＝x3－x2－4x＋4的零点．[解析]y＝x3－x2－4x＋4＝x2(x－1)－4(x－1)＝(x－1)(x2－4)＝(x－1)(x－2)(x＋2)，令(x－1)(x－2)(x＋2)＝0，得x＝1或x＝±2.∴函数y＝x3－x2－4x＋4的零点是－2,1,2.第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1判断下列函数的零点个数．零点个数的判断(1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－1x.[分析]由题目可知：(1)中f(x)为二次函数，解答本题可直接判断对应的一元二次方程根的个数；(2)中求函数的零点可直接解相应的方程或转化为两个熟知的基本初等函数y＝x2与y＝1x，看两函数图象交点的个数即可．第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1[解析](1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0得Δ＝49－4×12＝10，∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4，∴函数f(x)有两个零点，分别是3,4.(2)解法一：由f(x)＝0，得x2－1x＝0，∴x3－1x＝0，∴x3－1＝0且x≠0，∴x＝1.故函数f(x)＝x2－1x只有一个零点．第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1解法二：由x2－1x＝0，得x2＝1x.令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x，在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象，由图可知两函数图象只有一个交点，故函数f(x)＝x2－1x只有一个零点．第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c0，则函数的零点个数是()A．1个B．2个C．0个D．无法确定[答案]B[解析]∵c＝f(0)，∴a·c＝a·f(0)0，即a0f00或a0f00，∴函数必有两个零点．应选B．第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1若关于x的方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围．函数零点的应用[解析]设函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1的图象开口向上，零点x1∈(0,1)，x2∈(1,2)，第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1由f00f10f20，即2k－101＋k－2＋2k－104＋2k－2＋2k－10，解得，12k23，∴实数k的取值范围是12，23.第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1已知方程x2＋2px＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p的取值范围为__________．[答案](－∞，－1)[解析]令f(x)＝x2＋2px＋1，∵f(x)的图象开口向上，当f(x)与x轴的两交点的横坐标一个大于1，另一个小1时，必有f(1)0，即2＋2p0，∴p－1.即p的取值范围为(－∞，－1)．第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1易错疑难辨析第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．[辨析]解答此类题目易犯本题误解中的错误，即没有搞清题意，忽略a＝0的情形，而本题中并没有说明所给函数是二次函数．[错解]因为y＝ax2－x－1只有一个零点，所以关于x的方程ax2－x－1＝0有两个相等的实数解，所以Δ＝0，即1＋4a＝0，故有a＝－14.第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1[正解](1)当a≠0时，函数y＝ax2－x－1是二次函数．因为y＝ax2－x－1只有一个零点，所以关于x的方程ax2－x－1＝0有两个相等的实数解，所以Δ＝0，即1＋4a＝0，故有a＝－14；(2)当a＝0时，函数为y＝－x－1，显然该函数图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点．综上所述，a的值为0或－14.第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1思想方法技巧第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修11．数形结合思想关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布问题，通常借助于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解决，利用函数思想研究一元二次方程根的分布问题体现了数形结合的思想，一般要考虑四个因素：(1)二次项的系数；(2)判别式；(3)对称轴；(4)区间端点的取值，通过列出满足条件的不等式(组)来解决．我们知道函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根．第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1已知关于x的方程3x2－5x＋a＝0的两根x1、x2满足x1∈(－2,0)，x2∈(1,3)，求实数a的取值范围．3[解析]∵关于x的方程3x2－5x＋a＝0的两根x1，x2满足x1∈(－2,0)，x2∈(1,3)，∴函数f(x)＝3x2－5x＋a有两个零点x1，x2，且x1∈(－2,0)，x2∈(1,3)．第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1由二次函数f(x)＝3x2－5x＋a的图象可得f－20f00f10f30，即3×4－5×－2＋a0a03－5＋a027－15＋a0，解得－12a0.∴实数a的取值范围是(－12,0)．第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修12．零点分析法若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．这种利用函数性质判定方程实数解的方法也叫零点分析法．零点分析法的几何意义是，在闭区间[a，b]上有连续曲线y＝f(x)且连续曲线的始点(a，f(a))与终点(b，f(b))分别在x轴的两侧，则此连续曲线与x轴至少有一个交点(如图所示)第二章2.42.4.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·必修1实数a、b、c是图象连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足abc，f(a)·f(b)0，f(b)·f(c)0，则函数y＝f(x)在区间(a，c)上的零点个数为()A．2B．奇数个C．偶数个D．至少2个[解析]由f(a)·f(b)0，知y＝f(x)在(a，b)上存在奇数个零点，f(b)·f(c)0，知y＝f(x)在(b，c)上存在奇数个零点．∴f(x)在(a，c)上存在零点且为偶数个．[答案]C第二章