中考综合题(五)----“函数在实际中的应用”问题

中考综合题（五）----“函数在实际中的应用”问题一、函数在中考中具有重要的地位，近几年中考中出现很多与实际问题相结合的函数题目，注意实际问题和函数的转化。二、【精典题型】1、如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式。（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？分析：（1）已知，顶点（0，3.5）过一点（1.5，3.05）用顶点式。（2）已知横坐标－2.5，求出纵坐标，就是抛出点的高度。解：（1）由题意知抛物线顶点坐标为（0，3.5）且过（1.5，3.05）点，∴设y=a(x-0)2+3.5即y=ax2+3.5，将（1.5,3.05）代入，3.05=2.25a+3.52.25a=-0.45a=-∴y=-x2+3.5（2）当x=-2.5时，y=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.252.25-1.8-0.25=0.20(m)答：球出手时，他距离地面高度是0.20m。说明：求抛物线的解析式时，一定要正确找到抛物线上的点，并注意根据坐标系的位置，确定坐标的符号。例2．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系上经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距离水面10米，入水处距池边的距离为4m，同时，运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。（1）求这条抛物线的解析式。（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是图中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。分析：挖掘已知条件，由已知条件和图形可以知道抛物线过（0，0）（2，-10），顶点的纵坐标为。解：（1）如图，在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=ax2+bx+c由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）（2，-10），且顶点A的纵坐标为。∴∴∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴0，又∵抛物线开口向下，∴a0,b0，∴a=-，b=，c=0∴抛物线的解析式为：y=-x2+x（2）当运动员在空中距池边的水平距离为3时，即x=3-2=时，y=(-)×()2+×=-，∴此时运动员距水面高为：10-=5，因此，此次试跳会出现失误。例3.（香港）今有网球从斜坡O点外抛出，网球的抛物路线方程是y=4x-x2,斜坡的方程是y=x，其中y是垂直高度（米），x是与O点的水平距离（米）（1）网球落地时撞击斜坡的落点为A，写出A点的垂直高度，以及A点与O点的水平距离。（2）在图象中，标出网球所能达到的最高点B，并求OB与水平线OX之间夹角的正切。分析：（1）实际上是求A点的坐标；（2）求出顶点坐标是关键。解：由方程组，∴∴A（7，3.5）∴A点的垂直高度为3.5米，A点与O点的水平距离为7米。（2）由y=4x-x2=-(x-4)2+8∴B(4,8),tanα==2.例4．已知斜坡PQ的坡度i=1∶，在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，顶端A处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流的最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30°，以O为原点，OA所在直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴建立坐标系，求水喷到斜坡上的最低点B与最高点C的距离。分析：直线PQ是正比例，需一个条件确定k，用i=1∶，求线段BC应求出B、C坐标，即抛物线与直线交点。解：过M作MH⊥x轴于H，过A作AG⊥MH于G，Rt△AGM中，∠MAG=30°，MG=1，∴AG=，MH=2，∴M（，2）∵M′与M点关于y轴对称，∴M′(-，2），设以M为顶点的抛物线解析式为y=a(x-)2+2以M′为顶点的抛物线解析式为y′=a′(x+)2+2∵均过A（0，1），∴a=-，a′=-，∴y=-x2+x+1y′=-x2-x+1，设直线PQ的解析式为y=kx，∵i=1∶，C在PQ上，∴设C（m,m），∴m=mk，∴k=，∴y=x，∴∴C（）舍去负值。∴B（）舍去正值。∴CD=，OC=2CD=1+OB=2||=3+，∴BC=4++。例5．（1）一辆宽2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过），为保证安全，车顶离隧道顶部至少要0.5米的距离，求货车的限高为多少？（2）若将（1）中的单行道改为双行道，即货车必须从隧道中线的右侧通过，求货车的限高应是多少？分析：题中已知条件有一条抛物线，要确定这条抛物线必须建立适当的坐标系。为使计算量小，可以过抛物线的对称轴建立坐标系。解：建立如图所示坐标系，∵抛物线的顶点坐标是（0，4），∴可设抛物线的方程为y=ax2+4.又抛物线过（4，0）点，∴0=a×42+4,∴a=-.∴y=-x2+4(-4≤x≤4)(1)当x=1时，y=3.75.∴货车限高为3.75-0.5=3.25(m)(2)当x=2时，y=3故货车限高为3-0.5=2.5米。例6．一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面1米，铅球落地点距离铅球刚出手时相应的地面上的点10米，铅球运行中最高点离地面3米，已知铅球走过的路线是抛物线，求这个抛物线的解析式。分析：这是一个物理问题，由于铅球的运动路线是抛物线，因此要运用二次函数的知识去解决问题。解：根据题意，建立直角坐标系，如图可知抛物线经过(0,)和(10,0)；抛物线顶点的纵坐标为3，根据题意，设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+3(0≤x≤10)将(0,)和(10,0)代入解析式，得由①，得a=-，代入②，得-(10-h)2+3=0去分母，整理得h2+16h-80=0解出h1=-20,h2=4当h=-20时，y=a(x+20)2+3，抛物线顶点为(-20,3)，此时当x=-20时，铅球运行中的最高点为3米，不符合0≤x≤10的要求，舍去。当h=4时，a=-，抛物线的解析式为y=-(x-4)2+3即y=-x2+x+(0≤x≤10)。例7．A市场和B市场分别有库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台，D市8台，已知从A市调运一台机器到C市、D市的运费分别为4百元和8百元；从B市调运一台机器到C市、D市的运费分别为3百元和5百元。（1）设B市运往C市机器x台，求总运费W关于x的函数关系式；（2）若要求总运费不超过9千元，问共有几种调运方案？（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？分析：本题属于规划调运问题，根据题意可建立问题的函数模型，讨论自变量的取值范围，并由函数的性质，讨论问题的最小值，本题是函数知识的灵活运用。解：（1）因为B市场运往C市机器x台，所以B市场运往D市(6-x)台，A市运往C市(10-x)台，A市场运往D市(2+x)台；运费依次为：3x百元、5(6-x)百元、4(10-x)百元、8(2+x)百元.总运费为W=3x+5(6-x)+4(10-x)+8(2+x)=2x+86所求函数的表达式为W=2x+86（2）由题意，得2x+86≤90，∴x≤2又∵B市可总共支援外地6台，∴0≤x≤6，∴0≤x≤2，故x可取0、1、2三个数，所以要求总运费不超过9千元，共有三种调运方案。（3）∵0≤x≤2，由一次函数性质，得当x=0时，W的值最小，W最小值=86，此时的调运方案是B市场运至C市0台，运至D市6台；A市场运至C市10台，运至D市2台。最低总运费为8600元。某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高920m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？解答：（1）有题意可知，抛物线经过（0，920），顶点坐标是（4，4）．设抛物线的解析式是442xay，解得91a，所以抛物线的解析式是44912xy；篮圈的坐标是（7，3），只要这个点在抛物线上，球就能够投中．代入解析式得7447912y，所以能够投中．（2）能够获得成功就要看1m处得纵坐标是多少，大于3.1就不能成功。当1x时，3y，所以能够盖帽拦截成功．阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化.例如：由抛物线y=x2-2mx+m2+2m-1……（1）得：y=(x-m)2+2m-1……（2）∴抛物线的顶点坐标为(m，2m-1)，设顶点为P（x0，y0），则：)4(12)(300mymx当m的值变化时，顶点横、纵坐标x0，y0的值也随之变化，将(3)代入(4)得：y0=2x0-1.…(5)可见，不论m取任何实数时，抛物线的顶点坐标都满足y=2x-1.解答问题：①在上述过程中，由(1)到(2)所用的数学方法是，其中运用的公式是.由(3)、(4)得到(5)所用的数学方法是.（每空1分）②根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x2-2mx+2m2-4m+3的顶点纵坐标y与横坐标x之间的函数关系式.③是否存在实数m，使抛物线y=x2-2mx+2m2-4m+3与x轴两交点A(x1，0)、B(x2，0)之间的距离为AB=4，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由【提示：|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2】答案：①配方法，完全平方公式，代入法…………..……3分②∵y=x2-2mx+2m2-4m+3=(x-m)2+m2-4m+3∴抛物线顶点坐标为(m，m2-4m+3)………….….4分设顶点坐标为(x，y)，则有)2(34)1(2mmymx…………………………….5分将(1)代入(2)得出y与x之间的函数关系式为：y=x2-4x+3……6分③不存在实数m使AB=4.…………………………………….7分由根与系数的关系可知x1+x2=2m，x1·x2=2m2-4m+3……………..8分∵|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2，AB=4∴(2m)2-4(2m2-4m+3)=42化简整理得：m2-4m+7=0……（*）……….9分∵方程（*）的判断式△﹤0∴方程（*）无实数解∴不存在实数m使两交点之间的距离AB=4……..10分