代数几何综合题的解题方法

1代数几何综合题的解题方法北京一〇一中学李爱民代数、几何综合题是指需综合运用代数、几何这两部分知识解题的问题，是初中数学中知识涵盖面广、综合性最强的题型，它的解法多种多样.代数与几何综合题考查了数学基础知识和灵活运用知识的能力；考查了对数学知识的迁移整合能力；考查了将大题分解为小题，复杂问题简单化的能力；考查了对代数几何知识的内在联系的认识，运用数学思想方法分析与解决问题的能力.题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数中的方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径.解代数、几何综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.这类题目往往是中考的压轴题.解题方法：解这类题目时应从代数几何两方面入手，多角度、多线索地深入分析，架起连接代数与几何的桥梁关键点.灵活运用数学思想方法，如数形结合思想、数学建模思想、分类讨论思想、转化的思想、函数与方程思想等.例1.生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)，如图1-1.图1-1如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为26cm，宽为xcm，分别回答下列问题：(1)为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P)，试求x的取值范围．(2)如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)．点拨：将图④中的纸条分别沿PM、PQ折叠，把折好的纸条打开，则得到如图1-2所示的带有折痕（虚线）的纸条（数学化）.我们发现其中等腰直角三角形的斜边长正好等于纸条的宽，PM′等于5倍的纸条宽，从而可列方程求解.Q2图1-2解：（1）由折纸的过程可知，要保证折后纸条两端均超出点P，则必须满足ABPM/，∴2650x，解得5260x；（2）∵图④是轴对称图形，由纸条两端超出点P的长度相等，也即2526/xBMAP，折叠时起点M与点A的距离为PMAP，而xPM，∴AM=xxxPMAP23132526.点M与点A的距离是（x2313）cm.归纳：本题设计精巧、颇具创意，以学生喜闻乐见的“折纸”为背景，展示了数学的丰富内涵，材料鲜活、亲切，表述简明、直观，且几何底蕴丰富，极具有挑战性.既考查了图形变换及轴对称、方程和不等式的知识，又考查了实践能力和数学建模能力，引导学生将实践变为真知，将感性上升为理性，这正是此题设计的价值所在.如果不亲自动手实践，仅凭想象，是很难得到正确结果的.此题对学生的识图能力和动手实践能力提出了更高的要求.实践操作型以文字、图形等形式介绍一种图案（实物）的设计（制作）流程，根据流程完成设计或制作，并在此基础解决设计或制作中所遇到的问题.求解时，要注意挖掘设计（制作）过程中蕴涵的数学知识.例2.如图2-1，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．点拨：（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式.因为以点E、F、P为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是惟一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E、F、P为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解.解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)连结EF，在Rt△EBF中,∠B=90°，∴EF=5212222BFEB.设点P的坐标为(0,n),n＞0,∵顶点F(1,2),∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a≠0)．①如图2-2，当EF=PF时，EF2=PF2，∴12+(n-2)2=5，解得n1=0(舍去)，n2=4.∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．APMBM′图2-13②如图2-3，当EP=FP时，EP2=FP2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=－25(舍去)．③当EF=EP时，EP=5＜3，这种情况不存在.综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．(3)存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小．如图2-4，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连结E′F′，分别与x轴、y轴交于点M、N，则点M、N就是所求.连结NF、ME.∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′.∴BF′=4，BE′=3.∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=2243=5.又∵EF=5，∴FN+MN+ME+EF=5+5，此时四边形MNFE的周长最小值为5+5.归纳：本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称性求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想.分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏、最简.分类常见的依据是：一是依概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清谁与谁可以是对应角；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等.几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式.例3.已知：如图3-1，在RtACB△中，90C，4cmAC，3cmBC，点PxE′F′MNO图2-4ECyADBFDPO图2-3ECyxABF图2-2POECyxADBF4由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为(s)t（02t），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC∥？（2）设AQP△的面积为y（2cm），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtACB△的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图3-2，连接PC，并把PQC△沿QC翻折，得到四边形PQPC，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQPC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．点拨：（1）当PQ∥BC时，△APQ∽△ABC，从而可列比例式ACAQABAP，求出t的值；（2）过点P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得BCPHABAP，求出PH，然后由S△APQ=21PH·AQ,求出y关于t的函数关系式；（3）先假设存在，再由假设出发结合已知条件求出t的值.解：（1）在Rt△ABC中，522ACBCAB，由题意知：AP=5－t，AQ=2t，若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC.∴ACAQABAP.∴5542tt，∴710t．（2）过点P作PH⊥AC于H．如图3-3.∵△APH∽△ABC，∴BCPHABAP，∴3PH55t，∴tPH533.∴ttttPHAQy353)533(221212．（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．∴)24(32)5(tttt，解得：1t．若PQ把△ABC面积平分，AQCPB图3-1AQCPBP图3-2图3-3BAQPCH5则ABCAPQSS21，即－253t＋3t=3．∵t=1代入上面方程不成立，∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，如图3-4.若四边形PQP′C是菱形，那么PQ＝PC．∵PM⊥AC于M，∴QM=CM．∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．∴ABBPACPN．∴54tPN，∴54tPN．∴54tCMQM．∴425454ttt，解得：910t．∴当910t时，四边形PQP′C是菱形．此时37533tPM，9854tCM．在Rt△PMC中，9505816494922CMPMPC，∴菱形PQP′C边长为9505．归纳：本题属于涉及动点和存在性问题的代几综合题，题目应用的知识面广，兼顾基础与能力，难度较大.考查的知识点主要有相似三角形、四边形、图形的轴对称、方程与函数等相关知识.解决几何与函数这类问题的关键是要将函数的变量与几何中的变量结合起来，利用函数和方程探求几何变量与几何图形的关系.解决动态几何问题我们需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系；在求有关图形的变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型来求解；求图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时，通常建立方程模型求解.P′图3-4MBAQPCN