二函数与导数

1二、函数与导数10、指数式、对数式：mnmnaa，1mmnnaa，，01a，log10a，log1aa，lg2lg51，loglnexx，log(0,1,0)baaNNbaaN，logaNaN。如2log8(0.5)的值为______(答：164)11、一次函数:y=ax+b(a≠0)b=0时奇函数;12、二次函数①三种形式:一般式f(x)=ax2+bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶点?);顶点式f(x)=a(x-h)2+k;零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(轴?);b=0偶函数;③区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系;如：若函数20.524yxx的定义域、值域都是闭区间]2,2[b，则b＝（答：2）④实根分布:先画图再研究△0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;13、反比例函数:(0)ycxx平移()yacxb(中心为(b,a))14、对勾函数yxax是奇函数,上为增函数，，在区间时)0(),0(,0a递减，在时)0,[],0(,0aaa递增，在),a[],a(15、单调性①定义法;②导数法.如：已知函数3()fxxax在区间[1,)上是增函数，则a的取值范围是____(答：(,3]))；注意①：0)(xf能推出)(xf为增函数，但反之不一定。如函数3)(xxf在),(上单调递增，但0)(xf，∴0)(xf是()fx为增函数的充分不必要条件。注意②：函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数)(xf是定义在)2,2(上的减函数,若(1)(21)0fmfm，求实数m的取值范围。（答：1223m）③复合函数由同增异减判定④图像判定.⑤作用:比大小,解证不等式.如函2数20.5log2yxx的单调递增区间是________(答：（1,2）)。16、奇偶性：f(x)是偶函数f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。17、周期性。（1）类比“三角函数图像”得：①若()yfx图像有两条对称轴,()xaxbab，则()yfx必是周期函数，且一周期为2||Tab；②若()yfx图像有两个对称中心(,0),(,0)()AaBbab，则()yfx是周期函数，且一周期为2||Tab；③如果函数()yfx的图像有一个对称中心(,0)Aa和一条对称轴()xbab，则函数()yfx必是周期函数，且一周期为4||Tab；如已知定义在R上的函数()fx是以2为周期的奇函数，则方程()0fx在[2,2]上至少有__个实数根（答：5）（2）由周期函数的定义“函数()fx满足fxfax(0)a，则()fx是周期为a的周期函数”得：①函数()fx满足fxfax，则()fx是周期为2a的周期函数；②若()1()(0)fxafxa恒成立，则2Ta；③若()1()(0)fxafxa恒成立，则2Ta.如(1)设)(xf是),(上的奇函数，(2)()fxfx，当10x时，xxf)(，则)5.47(f等于_____(答：5.0)；(2)定义在R上的偶函数()fx满足(2)()fxfx，且在[3,2]上是减函数，若,是锐角三角形的两个内角，则(sin),(cos)ff的大小关系为_________(答：(sin)(cos)ff)；18、常见的图象变换①函数axfy的图象是把函数xfy的图象沿x轴向左)0(a或向3右)0(a平移a个单位得到的。如要得到)3lg(xy的图像，只需作xylg关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：y；右)；（3）函数()lg(2)1fxxx的图象与x轴的交点个数有____个(答：2)②函数xfy+a的图象是把函数xfy助图象沿y轴向上)0(a或向下)0(a平移a个单位得到的；如将函数()ybxaa的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线xy对称,那么0,1)(baARbaB,1)(0,1)(baCRbaD,0)((答：C)③函数axfy)0(a的图象是把函数xfy的图象沿x轴伸缩为原来的1a得到的。如（1）将函数()yfx的图像上所有点的横坐标变为原来的13（纵坐标不变），再将此图像沿x轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为___(答：(36)fx)；（2）如若函数(21)yfx是偶函数，则函数(2)yfx的对称轴方程是_______(答：0.5x)．④函数xafy)0(a的图象是把函数xfy的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.19、函数的对称性。①满足条件fxafbx的函数的图象关于直线()2xab对称。如已知二次函数)0()(2abxaxxf满足条件)3()5(xfxf且方程xxf)(有等根，则)(xf＝_____(答：20.5xx)；②点(,)xy关于y轴的对称点为(,)xy；函数xfy关于y轴的对称曲线方程为xfy；③点(,)xy关于x轴的对称点为(,)xy；函数xfy关于x轴的对称曲线方程为xfy；④点(,)xy关于原点的对称点为(,)xy；函数xfy关于原点的对称曲线方程4为xfy；⑤点(,)xy关于直线yxa的对称点为((),)yaxa；曲线(,)0fxy关于直线yxa的对称曲线的方程为((),)0fyaxa。特别地，点(,)xy关于直线yx的对称点为(,)yx；曲线(,)0fxy关于直线yx的对称曲线的方程为(,)0fyx；点(,)xy关于直线yx的对称点为(,)yx；曲线(,)0fxy关于直线yx的对称曲线的方程为(,)0fyx。如己知函数33(),()232xfxxx,若)1(xfy的图像是1C,它关于直线yx对称图像是22,CC关于原点对称的图像为33,CC则对应的函数解析式是___________（答：221xyx）；若f(a－x)＝f(b+x),则f(x)图像关于直线()2xab对称;两函数y=f(a+x)与y=f(b-x)图像关于直线x=2ba对称。提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；如（1）已知函数1()()xafxaRax。求证：函数)(xf的图像关于点(,1)Ma成中心对称图形。⑥曲线(,)0fxy关于点(,)ab的对称曲线的方程为(2,2)0faxby。如若函数xxy2与)(xgy的图象关于点（-2，3）对称，则)(xg＝______（答：276xx）⑦形如(0,)axbycadbccxd的图像是双曲线，对称中心是点(,)dacc。如已知函数图象C与2:(1)1Cyxaaxa关于直线yx对称，且图象C关于点（2，－3）对称，则a的值为______（答：2）⑧|()|fx的图象先保留()fx原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；(||)fx的图象先保留()fx在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称5图形得到。如（1）作出函数2|log(1)|yx及2log|1|yx的图象；（2）若函数)(xf是定义在R上的奇函数，则函数)()()(xfxfxF的图象关于____对称（答：y轴）20.求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数：①正比例函数型：()(0)fxkxk---------------()()()fxyfxfy；②幂函数型：2()fxx--------------()()()fxyfxfy，()()()xfxfyfy；③指数函数型：()xfxa----------()()()fxyfxfy，()()()fxfxyfy；④对数函数型：()logafxx---()()()fxyfxfy，()()()xffxfyy；⑤三角函数型：()tanfxx-----()()()1()()fxfyfxyfxfy。如已知)(xf是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则(2)fT__（答：0）21.反函数:①函数存在反函数的条件一一映射；②奇函数若有反函数则反函数是奇函数③周期函数、定义域为非单元素集的偶函数无反函数④互为反函数的两函数具相同单调性⑤f(x)定义域为A,值域为B,则f[f-1(x)]=x(x∈B),f-1[f(x)]=x(x∈A).⑥原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域。如：已知函数()yfx的图象过点(1,1),那么4fx的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））；22、题型方法总结6Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相同Ⅱ求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()fxaxbxc；顶点式：2()()fxaxmn；零点式：12()()()fxaxxxx）。如已知()fx为二次函数，且)2()2(xfxf，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为22,求()fx的解析式。（答：2()0.521fxxx）（2）代换（配凑）法――已知形如(())fgx的表达式，求()fx的表达式。如（1）已知,sin)cos1(2xxf求2xf的解析式（答：242()2,[2,2]fxxxx）；（2）若221)1(xxxxf，则函数)1(xf=_____（答：223xx）；（3）若函数)(xf是定义在R上的奇函数，且当),0(x时，)1()(3xxxf，那么当)0,(x时，)(xf=________（答：3(1)xx）.这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()fx的定义域应是()gx的值域。（3）方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于()fx及另外一个函数的方程组。如（1）已知()2()32fxfxx，求()fx的解析式（答：2()33fxx）；（2）已知()fx是奇函数，)(xg是偶函数，且()fx+)(xg=11x,则()fx=（答：21xx）。Ⅲ求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);实际问题有意义;若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x∈[a,b]时g(x)的值域；如：若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为__________7（答：42|xx）；（2）若函数2(1)fx的定义域为[2,1)，则函数()fx的定义域为________（答：[1,5]）．Ⅳ求值域:①配方法：如：求函数225,[1,2]yxxx的值域（答：[4,8]）；②逆求法（反求法）：如：313xxy通过反解，用y来表示3x，再由3x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围（答：（0,1））；③换元法：如（1）22sin3cos1yxx的值域为_____（答：17[4,]8）；（2）211yxx的值域为_____（答：3,）（令1xt