人教版高中数学函数的单调性教案

基础巩固强化一、选择题1．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是()A．y＝2－3x2B．y＝lnxC．y＝1x－2D．y＝sinx[答案]C[解析]A中，y′＝－6x，当－1x0时，y′0，当0x1时，y′0，故函数y＝2－3x2在区间(－1,1)上不是减函数，B中，y＝lnx在x＝0处无意义；C中，y′＝－1x－220对x∈(－1,1)恒成立，∴函数y＝1x－2在区间(－1,1)上是减函数；D中，y′＝cosx0对x∈(－1,1)恒成立，∴函数y＝sinx在(－1,1)上是增函数．2．函数f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是()A．单调增函数B．单调减函数C．在(0，1e)上是减函数，在(1e，6)上是增函数D．在(0，1e)上是增函数，在(1e，6)上是减函数[答案]A[解析]∵f′(x)＝1＋1x0，∴函数在(0,6)上单调递增．3．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x0，有f′(x)0，g′(x)0，则当x0时，有()A．f′(x)0，g′(x)0B．f′(x)0，g′(x)0C．f′(x)0′，g′(x)0D．f′(x)0，g′(x)0[答案]B[解析]由已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∵x0时，f′(x)0，g′(x)0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上递增．∴x0时，f(x)递增，g(x)递减．∴x0时f′(x)0，g′(x)0.4．(2012·辽宁文，8)函数y＝12x2－lnx的单调递区间为()A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)[答案]B[解析]本题考查利用导数求函数的单调区间．∵y＝12x2－lnx，∴y′＝x－1x＝x2－1x(x0)，令x2－1x≤0x0，得0x≤1.∴函数的单调递减区间为(0,1]．需要熟记基本初等函数的求导公式，同时注意区间的端点．5．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是()A.－π，－π2和0，π2B.－π2，0和0，π2C.－π，－π2和π2，πD.－π2，0和π2，π[答案]A[解析]y′＝xcosx，当－πx－π2时，cosx0，∴y′＝xcosx0，当－π2x0时，cosx0，∴y′＝xcosx0.当0xπ2时，cosx0，∴y′＝xcosx0.当π2xπ时，cosx0，∴y′＝xcosx0，故选A.6．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是()[答案]B[解析]因为二次函数在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减，所以其导函数在(－∞，0)上大于0，在(0，＋∞)上小于0，故选B.二、填空题7．函数y＝x3－x2－x的单调递增区间为________．[答案](－∞，－13)，(1，＋∞)[解析]∵y′＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，∴由y′0得，x1或x－13.8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1,3)，则b＝________，c＝________.[答案]－3－9[解析]f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由条件知f′－1＝0f′3＝9，即3－2b＋c＝027＋6b＋c＝0，解得b＝－3，c＝－9.9．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．[答案][3，＋∞)[解析]y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax≤0在区间(0,2)内恒成立，即a≥32x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.三、解答题10．讨论函数f(x)＝bxx2－1(－1＜x＜1，b≠0)的单调性．[解析]∵f(x)＝bxx2－1(－1x1，b≠0)，∴f′(x)＝bx′x2－1－bxx2－1′x2－12＝bx2－b－2bx2x2－12＝－b1＋x2x2－12∵－1x1，∴1＋x20，(x2－1)20，①当b0时，f′(x)0，∴函数f(x)在(－1,1)上单调递减．②当b0时，f′(x)0，∴函数f(x)在(－1,1)上单调递增.能力拓展提升一、选择题11．若函数y＝f(x)的导函数．．．在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()[答案]A[解析]考查导函数的基本概念及导数的几何意义．∵导函数f′(x)是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A.12．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为()A．a≥3B．a3C．a≤3D．a3[答案]A[解析]∵f′(x)＝3x2－a，又f(x)在(－1,1)上单调递减，∴f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立．∴a≥3x2在(－1,1)上恒成立，又0≤3x23，∴a≥3，经验证当a＝3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．13．函数f(x)＝－xex(ab1)，则()A．f(a)＝f(b)B．f(a)f(b)C．f(a)f(b)D．f(a)，f(b)的大小关系不能确定[答案]C[解析]f′(x)＝(－xex)′＝－x′·ex－－x·ex′ex2＝x－1ex.当x1时，f′(x)0，∴f(x)为减函数，∵ab1，∴f(a)f(b)．14．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是()[答案]D[解析]由f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f′(x)≤0，在(－∞，0)上f′(x)≥0，故选D.二、填空题15．函数f(x)＝xlnx的单调减区间为________．[答案](0，1e)[解析]函数f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1.解f′(x)0得x1e，又x0，∴f(x)的减区间为(0，1e)．16．已知函数f(x)＝ax＋1x＋2在(－2，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．[答案](－∞，12)[解析]f′(x)＝ax＋2－ax－1x＋22＝2a－1x＋22，由题意得x－2时，f′(x)≤0恒成立，∴2a－1≤0，∴a≤12.又当a＝12时，f(x)＝12x＋1x＋2＝12，此时，函数f(x)在(－2，＋∞)上不是减函数，∴a≠12.综上可知，a的取值范围为(－∞，12)．三、解答题17．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11).(1)求a，b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．[解析](1)f′(x)＝3x2－6ax＋3b.因为f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，即1－3a＋3b＝－113－6a＋3b＝－12，解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)0，解得x－1或x3；又令f′(x)0，解得－1x3.故当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．18．已知f(x)＝ex－ax－1.(1)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．[解析](1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.(2)f′(x)＝ex－a.若f(x)在(－∞，0]上是单调递减函数⇒ex－a≤0在x∈(－∞，0]时恒成立⇒a≥(ex)max.当x∈(－∞，0]时，ex∈(0,1]，∴a≥1.①若f(x)在[0，＋∞)上是单调递增函数⇒ex－a≥0在x∈[0，＋∞)时恒成立⇒a≤(ex)min.当x∈[0，＋∞)时，ex∈[1，＋∞)，∴a≤1.②由①②知a＝1，故存在a＝1满足条件．1．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]C[解析]由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a0，b0，则f(x)＝a(x＋b2a)2－b24a，顶点(－b2a，－b24a)在第三象限，故选C.2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是()[答案]C[分析]由导函数f′(x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图象，用排除法求解．[解析]由f′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f′(x)0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C.3．函数y＝x3＋ax＋b在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则()A．a＝1，b＝1B．a＝1，b∈RC．a＝－3，b＝3D．a＝－3，b∈R[答案]D[解析]f′(x)＝3x2＋a，由条件f′(1)＝0，∴a＝－3，b∈R.4．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.[答案]3[解析]∵切点M在切线y＝12x＋2上，∴f(1)＝12×1＋2＝52，又切线斜率k＝12，∴f′(1)＝12，∴f(1)＋f′(1)＝52＋12＝3.5．若函数y＝－43x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围________．[答案]a0[解析]y′＝－4x2＋a，若y＝－43x3＋ax有三个单调区间，则方程－4x2＋a＝0应有两个不等实根，故a0.6．已知f(x)＝13x3＋12ax2＋ax－2(a∈R)．若函数f(x)在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，求a的取值范围．[解析]因为f′(x)＝x2＋ax＋a(a∈R)，由题意知：f′(x)≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以Δ＝a2－4a≤0，所以0≤a≤4.故当0≤a≤4时，f(x)在R上单调递增．