论文概率方法在不等式证明中的应用研究

1概率方法在不等式证明中的应用研究摘要：不等式的证明方法是多种多样的，本文就利用概率论的思想来证明不等式给出了解题方法，把概率论的思想渗透到不等式的证明中，有助于拓宽接替思路，提高解题能力，理解数学各科间的紧密联系，通过利用概率论的基本性质，随机概率模型，函数的凸凹性，论述不等式证明中的一些概率方法，总结应用概率论的思想证明不等式的方法与技巧。关键词：概率随机变量凸函数jensen不等式ProbabilitymethodininequalityproofappliedresearchBaidanAnhuiNormaluniversitymathematicsandcomputerscienceinstituteAbstract:Theinequalityproofmethodismanyandvaried,thisarticleusingthetheoryofprobabilitythoughtprovedthattheinequalityhasgiventheproblemsolvingmethod,seepsthetheoryofprobabilitythoughttotheinequalityproof,ishelpfulinexpandsreplacesthementality,sharpenstheproblemsolvingability,understoodthatmathematicsduringvariousbranchesthecloserelation,throughtheusetheoryofprobability'sbasicproperty,thestochasticprobabilisticmodel,functionconvex-concave,intheelaborationinequalityproof'ssomeprobabilitymethod,summarizestheappliedprobabilitythoughtproofinequalitymethodandtheskill.Keyword:ProbabilityRandomvariableconvexfunctionjenseninequality引言概率思想广泛应用于其它学科，用概率方法来解决不等式证明的问题，是概率论研究的重要课题之一。概率方法灵活多样，只要概率模型构造恰当，它可以应用于多种数学问题中。不等式证明中一些不太好解决的问题，用概率知识去解是很方便的，这样我们就能在不等式证明中找到概率的应用。这样的探讨对概率论的发展具有很大意义，对教学工作者的教学也有着一定的作用。针对不同的不等式问题，构造适当的概率模型十分重要，用概率方法来证明一些不等式，不但可以简化证明，而且可以为学习高等属性提供概率论背景，有机结合不同学科之间的关系。概率方法在不等式证明中的应用一直为众多学者所2关注，许多学者在这方面做了大量的研究工作，本文在前人研究工作的基础上对此进行归纳总结。1构造概率模型证明不等式有些不等式的证明往往比较复杂,而且具体的直观含义也比较抽象.如果能够建立起适当的概率模型,赋以一些随机事件或随机变量的具体含义,再利用概率论的理论加以证明,则常常能使证明过程得到简化.同时还可以为抽象的数学问题提供具体的概率背景,沟通各数学分支之间的联系.1.1构造离散型概率模型证明不等式例1（holder不等式）设（x1i,…,imx）,i=1,…,n是n组正数，0jp,j=1,…,n,且1......1npp.则nnpmjpmjjpmjjpnjmjpjpjxxxxx11211121......2121(1)证明设离散型随机变量的概率分布为P（=ia）=ip，ia0,i=1,2,…,n则=iniiap1.因为lnx是（0，+）上的上凸函数，故有Ln(iniiap1)=ln()ln=iniiap1ln=ln(npnpaa...11)即有npnpaa...11iniiap1(2)现取mjjjxxa1111/，…mjnjnjnxxa1/,以此代入（2），得nimjijijipmjnjpmjjpnjpjpjxxpxxxxxnn1111121.......121上式两端关于j求和，得：31......111111211121niinimjijijipmjnjpmjjpnjpjpjmjpxxpxxxxxnn所以结论成立.(2)式是赫尔德不等式的最一般的形式事实上,对任一对共扼指数：p1,q1,111qp,w我们只要在（2）式中取n=2,qppp1,121qjjpjjxxxx21,j=1,1,…m便得到赫尔德不等式的最常用的形式：qmjqjpmjpjmjjjyxyx11111(3)特别，当p=q=2时,(3)式就是著名的许瓦兹(Schwarz)不等式:211221121miimiimiiiyxyx例2设0ija，且满足niija111njija，又设1x，…nx是n个非负实数，iy=njjijxa1,i=1,…,n则21121niiy21121niix证明设离散型随机变量的概率分布为：P(=jx)=ija,j=1,2,…,n则=njjijxa1=iy.因为21x是下凸函数，故有4njjijixay122122122121111上式两端关于i求和,即得:2112112122112111nijninjjijniixxay1.2构造连续型概率模型证明不等式例3设f(x)是区间[a,b]上的下凸函数,则)()(1)2(xdxfabbafba)证明:设连续型随机变量的分布密度为baxbaxabx,,0,,1)(=21)(badxabxdxxxba而babadxxfabdxabxfdxxxff)(11)()()()(因为f(x)在区间[a,b]上为下凸函数,所以f[)(])(f即)()(1)2(xdxfabbafba)特别地,当f(x)=xe时，有abbaeeabe1)(21例4设f(x)是[a,b]上不恒为零的正实值连续函数,则有52)cos)((baxdxxf+2)sin)((baxdxxf2))((badxxf证明设连续型随机变量X的概率密度函数为，其他）0,,)()((baxdxxfxfxgba则E(cosX)=baxdxxgcos)(=babadxxfxdxxf)(cos)(E(sinX)=baxdxxgsin)(=babadxxfxdxxf)(cos)(E(sin2X)=babadxxfxdxxf)(sin)(2E(cos2X)=babadxxfxdxxf)(cos)(2由)()(22XX得)(sin)(cos)(sin)(cos2222XXXX即2)cos)((baxdxxf+2)sin)((baxdxxf2))((badxxf1.3构造随机型概率模型证明不等式例5设函数x(t)0在(0,1)内连续，且0，则110101))(())((dttxdttx证明建立随机模型,设某仪器向区间(0,+∞)内发射A粒子的时间T在(0,1)内均匀分布,则其概率密度为f(t)=1,t(0,1),而以X(T)表记所发射的粒子在(0,+∞)内的位置.再定义函数g(y)=lny与y=cx(x0,xR).因为g(y)=lny为凸函数，故有E(g(y))g(EY),这里6g(EY)=ln(EY)=ln(dttfty)()()=ln(10)(dttxc)E(g(Y))=1010)(ln)(ln)()(dttxcdttxdttfygc故有10)(lndttxc=E(g(Y))g(EY)=10)(lndttxc取c=0,有10)(lndttx)))(ln(110dttx=110))(lndttx取c=0,有10)(lndttx10))(ln(1dttx=101))(ln(dttx所以101))(ln(dttx10)(lndttx110))(lndttx两端同时取以e为底的指数，得110101))(())((dttxdttx进而，当函数x(t)0在(a,b)内连续时（仍有0），有1))(1(badttxab（1))(1badttxab其离散形式为:设i0,i=1,…,n,0,则有ninianan111111)1()1(例6证明Nnnn1)!1(1分析若能证级数1)!1(nnn收敛，且1)!1(1nnn，从而就可证明此不等式.为此构造一个广义贝努利模型.证明设随机试验E只有两个基本结果A和A，将E独立重复的做n次，再第k次试验中,A出现的概率为kp（0kp1），不出现的概率为kq（kq=1-kp），又令7kf表示第k次试验中A首次出现的概率，则nnnppppfppfpf)1)...(1)(1(,...,)1(,12121211，（n2）记1,1,)1(,111nnNNNnnNNnnNfQPpQfP从而则的充要条件为Nnnp1)1(=0，若取kp=1kk，则有1)11)...(311()211(11nnnnfnnn1)!1(nnn另一方面注意到：1)1(nnp1)11(nnn0111nn，所以1)!1(1nnn，从而1)!1(1Nnnn。在证明不等式的过程中，除了构造适当的概率模型这种方法外，我们还可以利用概率的性质来证明不等式，包括概率的期望，方差以及我们常接触和使用的jensen不等式.2利用概率的性质证明不等式在利用概率性质证明不等式时，关键要熟悉概率的性质，在证明时选择适当的性质，在解题中加以灵活运用2.1利用期望的性质证明不等式例1证明niiiniiniibanba12211)())((2分析由数学期望的性质：)(及当随机变量与相互独立时有)(，可得0)(2，从而222。证明设随机变量随机变量与相互独立，的概率分部为p(=ia）=n18(i=1,2,…,n),的概率分部为p(=ib）=n1，(i=1,2,…,n).则E=n1niia1,E=n1niib1,niian1221,niibn1221,又因为222，从而niniiiniiniibanban1122112)(1))((12即niiininiiiniiniibanbanba122112211)(()())((2例2设0ix(i=1,2,…,n),则有nxxxxxxnnn......2121证明建立随机模型,设随机变量的概率分布为p(=ix)=n1,其中0ix,i=1,1,…,n.由数学期望的性质：E(ln))ln(,ininiixnxn111lnln1,)...ln(...ln2121nx