北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习

【无理数】√2=1.414√3=1.732√5=2.236√7=2.645（熟记）1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。2.常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.01001000100001…（两个1之间依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和/差结果都是无理数。如：2-是无理数（4）无理数乘/除以一个不为0的有理数结果是无理数。如2,（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：）3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75、④π、⑤252.、⑥32、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,4,32其中无理数有()个拓展中考在线：1.下列各数中：－1,23,3.14,－π,3,0,2,27,25,－0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1).其中，是有理数的是_____________，是无理数的是_______________.在上面的有理数中，分数有____________，整数有______________.2.x2=8，则x______分数，______整数，______有理数．（填“是”或“不是”）3.面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数．（填“是”或“不是”）4.一个高为2米，宽为1米的大门，对角线大约是______米（精确到0.01）.5.下列数中是无理数的是（）.A.0.1232B.2C．0D．7226.下列说法中正确的是（）.A.不循环小数是无理数B.分数不是有理数C.有理数都是有限小数D.3.1415926是有理数7.下列语句正确的是（）.A.3.78788788878888是无理数B.无理数分正无理数、零、负无理数C.无限小数不能化成分数D.无限不循环小数是无理数8.在直角△ABC中，∠C=90°，AC=23，BC=2，则AB为（）.A.整数B.分数C.无理数D.不能确定9.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（）.A.小数B.分数C.无理数D.不能确定10.下列说法中，正确的是（）.A.数轴上的点表示的都是有理数B.无理数不能比较大小C.无理数没有倒数及相反数D.实数与数轴上的点是一一对应的11.在02，38,0,9,0.010010001……，2，－0.333…，5，3.1415，2.010101…(相邻两个1之间有1个0)中，无理数有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个12.下列说法正确的是（）.A.有理数只是有限小数B.无理数是无限小数C.无限小数是无理数D.3是无理数13.下列说法错误的是().A.无理数的相反数还是无理数B.无限小数都是无理数C.正数、负数统称有理数D.实数与数轴上的点一一对应14.下列说法中：1、无理数就是开方开不尽的数；2、无理数是无限小数；3、无理数包括正无理数、零、负无理数；4、无理数可以用数轴上的点来表示．共有（）个是正确的．A.1B.2C.3D.415.下列各数中，不是无理数的是（）.A.7B.0.5C.2D.0.151151115…16.下列说法正确的是（）.A.有理数只是有限小数B.无理数是无限不循环小数C.无限小数是无理数D.带根号的数都是无理数17.在实数：3.14159，，1.010010001…，，π，中，无理数的（）.A.1个B.2个C.3个D.4个18.下列实数中，无理数是（）.A.﹣B.πC.D.|﹣2|19.下列实数中是无理数的是().A.4B.83C.0D.220.边长为4的正方形的对角线的长是（）.A.整数B.分数C.有理数D.不是有理数21.已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数2；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个.其中正确的结论是().A.①②B.②③C.③④D.②③④【算术平方根】：1.定义：如果一个正数x的平方等于a，即ax2，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“a”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39。特别规地，0的算术平方根是0，即00，负数没有算术平方根2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a有意义，则被开方数a是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a。例：（1）下列说法正确的是（）A．1的立方根是1；B．24；（C）、81的平方根是3；（D）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A、981B、14.314.3C、3927D、235（3）2)3(的算术平方根是。（4）若xx有意义，则1x___________。（5）已知△ABC的三边分别是,,,cba且ba,满足0)4(32ba，求c的取值范围。（6）（提高题）如果x、y分别是4－3的整数部分和小数部分。求x－y的值.平方根：1.定义：如果一个数x的平方等于a，即ax2，那么这个数x就叫做a的平方根；，我们称x是a的平方（也叫二次方根），记做：)0(aax2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们相等或互为相反数；（2）0只有一个平方根，它是0本身；（3）负数没有平方根例（1）若x的平方根是±2，则x=；16的平方根是（2）当x时，x23－有意义。（3）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？3.的性质与22)0()(aaa（1）77)0()22）如：（aaa（2）||2aa中，a可以取任意实数。如5|5|523|3-|3-2）（例：1.求下列各式的值（1）27（2）27-）（（3）249-）（2.已知1)12aa（，那么a的取值范围是。3.已知2＜x＜3,化简|3|)-22xx（。【立方根】1.定义：一般地，如果以个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）记为3a，读作，3次根号a。如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1，-1.例：（1）64的立方根是（2）若9.28,89.233aba，则b等于（3）下列说法中：①3都是27的立方根，②yy33，③64的立方根是2，④4832。其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个平方根与立方根练习题一、填空题1．如果9x，那么x＝________；如果92x，那么x________；2．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________；3．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________．4.若3,xxx则，若2,xxx则。5．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，210的算术平方根是；6．当______m时，m3有意义；当______m时，33m有意义；7．若一个正数的平方根是12a和2a，则____a，这个正数是；8．21a的最小值是________，此时a的取值是________．9.若0|2|1yx，则x+y=；10．若642x，则3x＝＿＿＿＿.11．立方根是－8的数是＿＿＿，64的立方根是＿＿＿＿。12．如果x、y满足|2|xyx=0，则x=，y=＿＿＿；13、如果a的算术平方根和算术立方根相等，则a等于；14.若x的算术平方根是4，则x=＿＿＿；若3x=1，则x=＿＿＿二、选择题1.若2xa，则（）A.0xB.0xC.0aD.0a2．2)3(的值是（）．A．3B．3C．9D．93．设x、y为实数，且554xxy，则yx的值是（）A、1B、9C、4D、54．如果53x有意义，则x可以取的最小整数为（）．A．0B．1C．2D．35．一个等腰三角形的两边长分别为25和32，则这个三角形的周长是（）A、32210B、3425C、32210或3425D、无法确定6.若5x能开偶次方，则x的取值范围是（）A．0xB.5xC.5xD.5x7.若n为正整数,则211n等于（）A．-1B.1C.±1D.21n8.若正数a的算术平方根比它本身大，则（）A.01aB.0aC.1aD.1a9、2008年是北京奥运年，下列各整数中，与2008最接近的一个是（）A．43；B、44；C、45；D、46；10．如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（）A、n+1；B、2n+1；C、1n；D、21n。11.以下四个命题①若a是无理数，则a是实数；②若a是有理数，则a是无理数；③若a是整数，则a是有理数；④若a是自然数，则a是实数．其中，真命题的是（）Ａ．①④Ｂ．②③Ｃ．③Ｄ．④12.当01a，下列关系式成立的是（）Ａ．aa，3aaＢ．aa，3aaＣ．aa，3aaＤ．aa，3aa13.下列说法中，正确的是（）Ａ．27的立方根是3，记作273Ｂ．25的算术平方根是5Ｃ．a的三次立方根是3aＤ．正数a的算术平方根是a14．下列命题中正确的是（）（1）0.027的立方根是0.3；（2）3a不可能是负数；（3）如果a是b的立方根，那么ab0;(4)一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1.A.（1）（3）B.（2）（4）C.（1）（4）D.（3）(4)15.下列各式中，不正确的是（）Ａ．233(3)(3)Ｂ．233(8)(2)Ｃ．2221aaＤ．2(5)516．若a0，则aa22等于（）A、21B、21C、±21D、017、化简(－3)2的结果是（）A.3B.－3C.±3D．918．已知正方形的边长为a，面积为S，则（）A．SaB．±SaC．aSD．aS19、算术平方根等于它本身的数（）A、不存在；B、只有1个；C、有2个；D、有无数多个；20、下列说法正确的是（）A．a的平方根是±a；B．a的算术平方根是a；C．a的算术立方根3a；D．-a的立方根是－3a．21、满足-2＜x＜3的整数x共有（）A．4个；B．3个；C．2个；D．1个．2ba的22、如果a、b两数在数轴上的位置如图所示，则算术平方根是（）；A、a+b；B、a-b；C、b-a；D、-a-b；23、如果-21x有平方根，则x的值是（）A、x≥1；B、x≤1；C、x=1；D、x≥0；24．已知a中，a是正数，如果a的值扩大100倍，则a的值（）A、扩大100倍；B、缩小100倍；C、扩大10倍；D、缩小10倍；三、解方程1.8)12(3x2．4(x+1)2=83.(2x+1)2-16=04.(2x-5)3=-27四、解答题1.已知：实数a、b满足条件0)2(12aba2.已知一个正数的平方根是2a-1和a-5,求a的值3.（1）若b=3a+a3+2,求ba的值。（2）已知a、b满足5a+2a5=b+4,求ab的值4.实数a，b，c在数轴上的位置如图，且ab，化简22()2a