偏微分方程和数值解法2-2.

220,0,(,0)()0,()()0,0xuuaxlttxuxgxxlu0,t=ul,t=t第一边界条件的初边值问题11100(12),0,0nnnnjjjjjjnnJauauauuuguu离散格式为0,1,2,...,1njJ121(,,...,)nnnnJUuuu令，矩阵形式为1nnAUU1nnAUU120...012...0012...0...............00...12aaAaaaaaaaA严格对角占优,方程组有解.§2相容性、收敛性、稳定性是相应的差分算子其中是微分算子其中差分方程记为微分方程和对于齐次问题，可以将hnjhLuLLLu,0011(1.1)(1.7)nnnnjjjjnhjuuLLuatxuuuuLuah方程微分算子为格式相应差分算子1.截断误差(,)(,)(,)(,)(,)(,)hjnjnjnhjnjnjnuLLuxtTxtTxtLuxtLuxtxt设是所讨论的微分方程的充分光滑的解，将算子和分别作用于，记两者在任意的结点处的差为，即即为差分格式在的截断误差。11(1.7)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)()jnhjnjnjnjnjnjnjnjnTxtLuxtLuxtuxtuxtuxtuxtahuxtuxtatx讨论格式的截断误差即22222211(,)(,)()()22jnjnuuxtaxthOOhtt截断误差主项222211(,)(,)(,)22jnjnuuTxtxathtt()()OOh注:求截断误差就是把解析解代入差分格式，利用Taylor展开式分析误差。().qpTOhtqxppqp我们也用“精度”一词说明截断误差。一般，如果一个差分格式的截断误差，就说差分格式对时间是阶精度的，对空间是阶精度的。特别，当时，说差分格式是阶精度的00(,)0||(,)||||(,)(,)||0jnjnhjnjnhuTxtTxtLuxtLuxt相容性：如果当和，解充分光滑，差分格式的截断误差，即有。则称差分方程与原微分方程是相容的。2.差分方程的相容性前面对流方程初值问题的三种差分格式的相容性？右偏格式：相容的，1阶格式左偏格式：相容的，1阶格式中心格式：相容的，对时间t是1阶，对空间x是2阶hL注意：算子与课本定义不同3.收敛性一个差分格式能否在实际中使用，最终要看能否任意地逼近微分方程的解。这样对于每一个差分格式，人们便从两个方面加以考虑：一是引入收敛性的概念，考察差分格式在理论上的准确解能否任意逼近微分方程的解；二是引入稳定性的概念，考察差分格式在实际计算中的近似解能否任意逼近差分方程的解。0,0(,)(,)njnjjnuuhjnuuxt设是微分方程的准确解，是相应差分方程的准确解。如果当步长时，对任何有则称差分格式是收敛的。例、分析右偏差分格式的收敛性1111()nnnnjjjjuuauu上的值，时，用到初始值在点计算),....,(),(1njjjnjxxxtxu,()()jnjnuxtxat根据特征线法，依赖于初始值在点的值右偏格式是不收敛的。(,)0nnjjnjeuxtu即例、分析左偏差分格式的收敛性111-1()nnnnjjjjuuauu1111(,)(,)((,)(,))(,)jnjnjnjnjnuxtuxtauxtuxtTxtnjnjnjutxue),(令：前两式相减得：111-1()(,)nnnnjjjjjneeaeeTxt差分方程截断误差11-1(1)(,)nnnjjjjneaeaeTxt整理：11-1(1)(,)nnnjjjjneaeaeTxt,0,0,sup||0nnnjjjheEe要证当时只要证即可。1,a实际上，只要有)(1hMEEnn0.......()nEEnMh)0,(0hEn左偏格式是收敛的。(1)a只要()MTh11-1(1)(,)nnnjjjjneaeaeTxt11(1)()nnaEaEMh因此注：直接利用收敛性的定义判断收敛性是相当麻烦的，后面我们会给一些间接的判别准则。4.稳定性稳定的。这种差分格式就认为是本上能计算出来，那么基控制的，差分格式的解如果误差的影响是可以地，式称为不稳定的。相反掩盖，那么此种差分格被式的精确解的面貌完全越来越大，以至差分格响的情况。如果误差的影就要分析这种误差传播的值，从而影响时的舍入误差，必然会计算因此层上计算出来的结果时，要用到第的层上进行的，计算差分格式的计算是逐层111njnjnjnjuu.unun的。那么称差分格式是稳定时，有，使得当存在常数层上的误差，如果是第，令，设初始层上引入了误差000,,,1,0,,1,0KTnKnjjnnjj.su)(||||:)(2njjnjnjhnph也可以取，它可以是范数是某种尺度其中的稳定性。的差分格式考虑逼近对流方程例00111huuuuxutunjnjnjnj0)()()()(011110000000huuuuuuuuuunjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjjjjjjjj应满足那么中没有引进别的误差，。设想在这一计算过程为的为初值进行计算，得到，用而不是为，即初值有误差层上每个网格点上的设在第解：110nnnnjjjjh得这就是误差所满足的方程.njjnjjnjjnjnjnjsupsupsup11(*)1111）（）（那么有如果1111/nnnnjjjjnnjjh改写其形式（）（）其中为网格比，从而可以知道，由此得011supsupsupsupsupjjnjjnjjnjjnjj下的稳定性。上面是论述了在极大模，，那么如果令下是稳定的。格式在条件分长的，我们就认为，差这就是说，误差是不增0sup(*)nnjjn左偏格式是稳定的。)1()1(稳定条件，对于线性微分方程从以上例子也可以看出0),(txLu其差分方程为：0njhuL则舍入误差满足：0nhjL所以在线性条件下，稳定性条件||||||||0Kn等价于||||||||0uKun的稳定性。的差分格式考虑逼近对流方程例)2.4(00211huuuuxutunjnjnjnj右偏格式是不稳定的。同样分析误差满足的差分方程：njnjnjeee11)1(0,0,000jeej假设：nnnee)1()1(000则：总结左偏格式、右偏格式的相容性、收敛性、稳定性格式性质左偏格式右偏格式相容性是是收敛性是否稳定性是否(1)a(1)a思考：收敛性和稳定性是否有联系？Lax等价定理：给定一个适定的线性初值问题以及与其相容的差分格式，则差分格式的稳定性是差分格式收敛性的充分必要条件。注：有了Lax等价定理，收敛性的证明可以通过稳定性的证明获得。注:1、问题为初值问题或周期性边界条件的边值问题2、初值问题是适定的。3、初值问题是线性的。Lax等价定理（重要）１.差分方程、截断误差、相容性、收敛性、稳定性的概念；２.构造差分方程方法(直接法和积分插值法)、求截断误差；（重点）３.如何将偏微分方程构造成相应的差分方程、并求由此产生的截断误差．（难点）主要内容4、Lax等价定理。（重要）