全国2015届高三最后一次模拟数学(文)试题

2015年高考文科数学最后一模(全国新课标II卷)说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，B＝{x||2x－1|＞3}，则集合A∩B＝（A）{x|2≤x≤3}（B）{x|2≤x＜3}（C）{x|2＜x≤3}（D）{x|－1＜x＜3}（2）1－i(1＋i)2＋1＋i(1－i)2＝（A）－1（B）1（C）－i（D）i（3）a、b是两个单位向量，且(2a＋b)⊥b，则a与b的夹角为（A）30（B）60（C）120（D）150（4）等比数列}{na的前321,2,4,aaaSnn且项和为成等差数列，若a1=1，则S4为（A）15（B）8（C）7（D）16（5）已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；q：x∈R，|x＋1|≤x，则（A）p∨q为真命题（B）p∨q为真命题（C）p∧q为真命题（D）p∧q为假命题（6）空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A）8＋25（B）6＋25（C）8＋23（D）6＋23正视图侧视图俯视图122（7）执行右边的程序框图，则输出的S是（A）5040（B）4850（C）2450（D）2550（8）偶函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)为奇函数，且f(1)＝1，则f(9)＋f(10)＝()（A）－2（B）－1（C）0（D）1（9）将函数f(x)＝sinωx（其中ω＞0）的图象向左平移π2个单位长度，所得图象关于x＝π6对称，则ω的最小值是（A）6（B）34（C）94（D）23（10）过双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（A）2（B）2（C）5（D）3（11）直线y＝a分别与曲线y＝2(x＋1)，y＝x＋lnx交于A，B，则|AB|的最小值为（A）3（B）2（C）324（D）32（12）给出下列命题:○110.230.51log32()3;○2函数()lgsinfxxx有3个零点;○3函数1()112=lnxxfxx的图像以原点为对称中心;○4已知a、b、m、n、x、y均为正数，且a≠b，若a、m、b、x成等差数列，a、n、b、y成等比数列，则有mn，xy．其中正确命题的个数是（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个第Ⅱ卷开始否结束i≥100？输出S是i＝0，S＝0S＝S＋ii＝i＋2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．（13）某城区有大学生3500人、中学生4000人，小学生4500人，为掌握各类学生的消费情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为300的样本，应抽取中学生人.（14）若x，y∈R，且x≥1，x－2y＋3≥0，y≥x，则z=x＋2y的最小值等于__________.（15）数列{an}的通项公式an＝nsinnπ2＋1，前n项和为Sn，则S2015＝__________.（16）已知圆O:x2＋y2=8，点A(2，0)，动点M在圆上，则∠OMA的最大值为__________．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知f(x)=231cossin222xx（Ⅰ）写出f(x)图像的对称中心的坐标和单增区间；（Ⅱ）△ABC三个内角A、B、C所对的边为a、b、c，若f（A）=0，b＋c=2．求a的最小值．（18）（本小题满分12分）某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年级800名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学不优秀的有100人．（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？（Ⅱ）4名成员随机分两组每组2人，一组负责收集成绩，另一组负责数据处理，求学生甲分到负责收集成绩组且学生乙分到负责数据处理组的概率．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)P(K2≥k0)0.0100.0050.001k06.6357.87910.828（19）（本小题满分12分）DACBPEF在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点，点F在棱PD上，且FD＝13PD．（Ⅰ）求证：PB∥平面EAC；（Ⅱ）求三棱锥F-ADC与四棱锥P-ABCD的体积比．（20）（本小题满分12分）设抛物线y2=4mx（m0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2；以F1、F2为焦点，离心率e=12的椭圆与抛物线的一个交点为226(,)33E；自F1引直线交抛物线于P、Q两个不同的点，点P关于x轴的对称点记为M，设11FPFQ．（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（Ⅱ）求证：22FMFQ．（21）（本小题满分12分）已知f(x)＝12x2－a2lnx，a＞0．（Ⅰ）求函数f(x)的最小值；（Ⅱ）当x＞2a，证明：f(x)－f(2a)x－2a＞32a．请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在△ABC中，∠C＝90º，BC＝8，AB＝10，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边、AB边分别交于点D、E，连结DE．（Ⅰ）若BD＝6，求线段DE的长；（Ⅱ）过点E作半圆O的切线，切线与AC相交于点F，证明：AF＝EF．CABEDOF（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C：x24＋y23＝1，直线l：x＝－3＋3ty＝23＋t（t为参数）．（Ⅰ）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；（Ⅱ）设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－1|．（Ⅰ）解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f(ab)＞|a|f(ba)．文科数学参考答案一、选择题：CACABACDBADB二、填空题：（13）100；（14）3；（15）1007；（16）4．三、解答题：（17）解：（Ⅰ）化简得：f（x）=cos（2x＋3）……………3分对称中心为：()(,0)212kzk单增区间为：()2[,]36kzkk………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()cos(2)10cos(2)133fAAA70,2.333AA23A于是：3A………………………9分根据余弦定理：2222cos3abcbc=24343()12bcbc当且仅当1bc时，a取最小值1．………………………12分（18）解：（Ⅰ）由题意可得列联表：物理优秀物理不优秀总计数学优秀60140160数学不优秀100500640总计200600800因为k＝800(60×500－140×100)2160×640×200×600＝16.667＞10.828．…………6分所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关．（Ⅱ）设其他学生为丙和丁，4人分组的情况如下表小组123456收集成绩甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁数据处理丙丁乙丁乙丙甲丁甲丙甲乙分组的情况总共有6种，学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理占2种，所以学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理的概率是P＝26＝13．…………12分（19）解：连结BD，设BD∩AC＝O，易知O为DB的中点．又E为PD的中点，所以在△PDB中，OE为其一条中位线，所以PB∥OE．又OE平面EAC，PB/平面EAC，故PB∥平面EAC．……………………6分（Ⅱ）因为FD＝13PD，所以点F到平面ACD（也是平面ABCD）的距离DACBPEFO与点P到平面ABCD的距离比为1∶3，又易知△ACD的面积等于四边形ABCD面积的一半，所以三棱锥F-ADC与四棱锥P-ABCD的体积比为1∶6．………12分（20）解：（Ⅰ）由题设，得：22424199ab①a2－b2a＝12②由①、②解得a2＝4，b2＝3，椭圆的方程为22143xy…………………………4分易得抛物线的方程是：y2＝4x．…………………………6分（Ⅱ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)、M(x1，－y1)，由11FPFQ得：x1＋1=λ(x2＋1)，于是有1211xx○3欲证：22FMFQ，只需证：1211xx○4由○3○4知：只需证明：1211xx1211xx化简为：x1x2=1…………………………9分设直线PQ的方程为y＝k(x＋1)，与抛物线的方程联立，得：2222(24)0kxkxk…………………………10分根据韦达定理：x1＋x2=2224kkx1x2=1根据以上步骤可知：22FMFQ成立．…………………………12分（21）解：（Ⅰ）f(x)＝x－a2x＝(x＋a)(x－a)x．…………………1分当x∈(0，a)时，f(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f(x)＞0，f(x)单调递增．当x＝a时，f(x)取得极小值也是最小值f(a)＝12a2－a2lna．………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ），f(x)在(2a，＋∞)单调递增，则所证不等式等价于f(x)－f(2a)－32a(x－2a)＞0．…………………7分设g(x)＝f(x)－f(2a)－32a(x－2a)，则当x＞2a时，g(x)＝f(x)－32a＝x－a2x－32a＝(2x＋a)(x－2a)2x＞0，…………………9分所以g(x)在[2a，＋∞)上单调递增，当x＞2a时，g(x)＞g(2a)＝0，即f(x)－f(2a)－32a(x－2a)＞0，故f(x)－f(2a)x－2a＞32a．…………………12分（22）解：（Ⅰ）∵BD是直径，∴∠DEB＝90º，∴BEBD＝BCAB＝45，∵BD＝6，∴BE＝245，在Rt△BDE中，DE＝BD2－BE2＝185．…………………5分（Ⅱ）连结OE，∵EF为切线，∴∠OEF＝90º，∴∠AEF＋∠OEB＝90º，又∵∠C＝90º，∴∠A＋∠B＝90º，又∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠B，∴∠AEF＝∠A，∴AE＝EF．…………10分（23）解：（Ⅰ）C：x＝2cosθ，y＝3sinθ（θ为参数），l：x－3y＋9＝0．……………4分（Ⅱ）设P(2cosθ，3sinθ),则|AP|＝(2cosθ－1)2＋(3sinθ)2＝2－cosθ，P到直线l的距离d＝|2cosθ－3sinθ＋9|2＝2cosθ－3sinθ＋92．由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝35，cosθ＝－45．故P(－85，335)．……………10分（24）解：（Ⅰ）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝－2x－2，x≤－3，4，－3≤x≤1，2x＋2，x≥1．当x＜－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；当－3≤x≤1时，f(x)≤8不成立；当x＞1时，由2x＋2≥8，解得x≥3．…………4分CABEDOF所以不等