关于线性规划教学的几点思考

关于线性规划教学的几点思考随着新课程改革的开展我们看到，无论是教师、考生还是试卷命题人都把目光投注到新课程新增内容上．线性规划以其运用知识、方法和思想的丰富性及联系生活实际的广泛性，而备受命题者的青睐．纵观近几年的高考试题，线性规划的试题多以选择题、填空题出现，但部分省市已出现大题，分值有逐年加大的趋势。简单线性规划正在成为一个高考热点。认真分析研究近年各地高考试卷，教师在教学中要注意以下几点：一、注重基础，解题过程规范化解决线性规划问题的基本思路是：画图—平移求点—代值解答。其中规范作图是解答问题的基础。例1若x、y满足条件.0104010230122yxyxyx，，求yxz2的最大值和最小值．分析：画出可行域，平移直线找最优解．解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线zyxl2:，即zxy2121，它表示斜率为21，纵截距为2z的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l过点时，z取得最大值，当l过点B时，z取得最小值．∴18822maxz∴2222minz说明：解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值．例2某商店计划同时销售某品牌电热水器和太阳能热水器，由于市场需求旺盛，这两种产品供不应求，因该商店根据具体情况（如成本、员工工资）确定产品的月采购量，具体数据如下，问这两种产品各采购多少时，才能使总利润最大？最大利润是多少？分析：本题是整数规划问题，设采购电热水器x台、太阳能热水器y台，列出约束条件和目标函数，用图解法解之.解析：设月采购电热水器x台、太阳能热水器y台，月总利润为z元，则1000300030000100050011000,xyxyxyN，即330222,xyxyxyN，目标函数为z=800600xy作出可行域如图所示，作直线l：86xy=0，平移直线z=800600xy知过M3638(,)55时，maxz=10320，但x=365，y=385不是整数，所以可行域内点M3638(,)55不是整点最优解.求整点最优解首先在可行域内打网格，其次描出M3638(,)55附近的所有整点，接着平移直线l：86xy=0，会发现当移至（8，6）时，直线在y轴上截距最大，即maxz=10000元.故每采购热水器8台、太阳能热水器6台时，总利润最大，最大值为10000元.说明：对整数规划问题，先按一般规划问题求出最优解，若最优解是整数，则此最优解就是整数规划的最优解，若最优解不是整数，则可用下边三种方法整点最优解：（1）网格平移法：打网格，找出可行域内整点，平移目标函数，找出最优整点；（2）特值验证法:在非整点最优解的附近靠近边界可行域内找整点，代人目标函数通过计算比较，找出最优解；（3）调整优值法:先求x、y取非整点最优解时目标函数的最大（小）值，根据不定方程整数解的知识知，目标函数的最值应是目标函数中x、y系数公约数的整数倍，据此调整目标函数单位产品所需资金月资金供应量（百元）电热水器太阳能热水器成本1030300工资105110单位利润86的最大值，取比x、y取非整数最优解对时最大（小）值小（大）、与之最接近、能被目标函数中x、y系数公约数整除的数作为新最值，从中用x把y表示出来，代人约束条件，求出x的取值范围，在x的取值范围中取出整数作为x值，代入目标函数求出y值，若x值、y值都是整数，则此x、y值就是最优整数解，若x、y值不是整数，则取与第二取得最值最近且能被目标函数中x、y系数公约数整除的数作为新最值，重复上述步骤，直到找出整点最优解.二、充分分析问题，提升应用能力，拓展应用层次求线性目标函数中参数的取值范围例3、已知x、y满足以下约束条件5503xyxyx，使z=x+ay(a0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D求非线性目标函数的最值（距离问题）例4、已知x、y满足以下约束条件220240330xyxyxy，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、13，255解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选Cx+y=5x–y+5=0Oyxx=32x+y-2=0=5x–2y+4=03x–y–3=0OyxA求非线性目标函数的最值（斜率）问题当目标函数形如yazxb时,可把z看作是动点(,)Pxy与定点(,)Qba连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。例5已知变量x，y满足约束条件x－y＋2≤0，x≥1，x＋y－7≤0，则yx的取值范围是（）.（A）[95，6]（B）（－∞，95]∪[6，＋∞）（C）（－∞，3]∪[6，＋∞）（D）[3，6]解析yx是可行域内的点M（x，y）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM过点（52，92）时，yx取得最小值95；当直线OM过点（1，6）时，yx取得最大值6.答案A线性目标函数具有明显的几何意义，学习时要充分挖掘目标函数的意义常见的类型有截距型、距离型、斜率型。在教学中要以问题为载体；以学生为主体；以合作交流为手段；以能力提高为目的。重视概念的提取过程；知识的形成过程；解题的探索过程。促进学生对线性规划的理解和解题能力的提升