利用导数解决函数单调性教案

1利用导数判断函数的单调性教学目标：1、理解导数与函数的单调性的关系,并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，掌握用导数研究函数单调性的方法。2、能由导数信息作出函数的大致图象，提高学生运用导数解决函数问题的能力.3、能解决含参数函数的单调性问题；能利用导数、函数的单调性转证三次不等式4、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、函数思想、分类讨论的数学思想。教学重点：理解函数的单调性与其导数的关系，会利用导数研究函数的单调性。教学难点：构造函数，证明三次不等式；探求含参数函数的单调性的问题。教学方法：启发式、探究式教学用具：多媒体教学思路与设计：我们已复习了函数，函数是中学数学中的核心问题，正确认识函数的性质是运用函数处理问题的基本要求。导数是研究函数图像和性质的重要工具，利用导数来研究函数的单调性比定义法、图像法更简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时地一个重要应用，对研究函数的最值问题，具有良好的承上启下的作用。学生已掌握了函数的单调性的基本概念，判断方法、导数的概念，以及导数的计算，为综合应用导数与函数单调性作好充分的准备。作为复习课首先明确考纲的要求：了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。自从导数进入高中数学以来，函数导数是核心内容，函数的单调性是基础点，运用不等式、导数等工具研究函数是交汇点，有关函数导数问题一直是考查的热点，相对高考题所处的位置而言，不太难，我们的学生能够接受，通过认真复习，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力，激发学生独立思考和创新的意识。相信我们的学生是能充分掌握好这一部分内容的。教学过程（一）、引入1、我们已经复习了函数，学习了函数的单调性，什么是函数的单调性？2、讨论函数2xy的单调性。﹝学生活动﹞独立思考，认真解题，通过比较分析得出：判断三次的或三次以上的或图像很难画出的函数单调性问题时，应考虑导数法。4、用导数法判断函数的单调性用函数的导数判断函数单调性的法则：33?yxx2设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，（1）如果在区间(a，b)内，0)(/xf，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；（2）如果在区间(a，b)内，0)(/xf，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间。（二）．题型示例1、讨论函数xxy33的单调性。﹝分析与解答﹞判断三次函数的函数的单调性，适合用求导法。函数y=f(x)的导函数0)(/xf的解集为区间是函数的增区间；0)(/xf的解集为区间是函数的减区间。利用导数、一元二次不等式解决函数问题。变式：当1x时，求证：233xx﹝分析与解答﹞通过上题的求解及图像的观察，自然想到运用函数的单调性来处理，借助于导数工具，确定不等式所联系着的具体函数，构造函数，用函数思想处理问题。构造函数xxxf3)(3，由上题知：该函数在区间（1，+∞）单调递增，依函数单调性定义有：当1x时，f(x))1(f，而2)1(f，从而得证。或构造函数233xxy。学生分组进行变式编题。2、设)('xf是函数f(x)的导函数，y=)('xf的图象如右图所示，（Ⅰ）写出函数y=f(x)的单调区间（Ⅱ）y=f(x)的图像最有可能的是()（A）（B）3(C)(D)﹝分析与解答﹞函数的单调性由该函数的导函数的正负决定：在某区间函数的导函数0)(/xf，则该函数在此区间单调递增；在某区间函数的导函数0)(/xf，则该函数在此区间单调递减。根据导函数图像知：在区间（-∞，0）和（1，+∞）内，0)(/xf；在区间（0，2）内，0)(/xf。故在区间（-∞，0）和（1，+∞）内，函数y=f(x)单调递增，在区间（0，2）内，函数y=f(x)单调递减。选择(C)。3、设函数3()3(0)fxxaxba.（Ⅰ）若曲线()yfx在点(2,())fx处与直线8y相切，求,ab的值；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间。【分析与解答】（Ⅰ）求,ab两个值，通常需要寻找与,ab有关的两个等式。由题意知曲线()yfx和与直线8y的交点为(2,())fx，且切点处的斜率为0。（Ⅱ）含参数不等式，对参数的讨论是解决这类问题的难点，找准方向和切入点。本题主要考查倒数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）'233fxxa,∵曲线()yfx在点(2,())fx处与直线8y相切，∴'203404,24.86828faababf（Ⅱ）∵'230fxxaa,当0a时：'0fx，函数()fx在,上单调递增，当0a时：当,xaa时，'0fx，函数()fx单调递减，当,xa时，'0fx，函数()fx单调递增，4（三）、学生练习1、若在区间（,ab）内有0)(/xf且0)(af，则在（,ab）内有（）A．0)(xfB.0)(xfC.0)(xfD.不能确定【分析】由函数单调性定义知在（,ab）内有)()(afxf，选A。2、讨论函数axxxxf933)(23的单调区间。【分析】用求导法，结合一元二次不等式求得函数在（-∞，-1）内单调递减，在（-1，3）内单调递增，在（3，+∞）内单调递减。3、讨论函数)0(762)(23aaxxxf的单调减区间。【分析】用导数法求函数的单调减区间。由0)2(6126)(2/axxaxxxf得axx2,0，从a2与0的大小关系入手求0)2(6126)(2/axxaxxxf的解：当0a时，函数的减区间为)2,0(a；当0a时，函数无减区间；当0a时，函数的减区间为（)0,2a。（四）、本节课小结：请同学们谈谈这节课的收获，从基础知识、数学思想等方面。（五）作业：1、讨论下列函数的单调区间(1)613823xxxy（2）xexy22、已知导函数)(/xf的下列信息：当041/）（时，xfx；当014/）（时，或xfxx：当0)(,14/xfxx时或试画出函数y=f(x)图象的大致形状。3、已知函数3、（2008年北京文科高考17）已知函数32()3(0),()()2fxxaxbxcbgxfx且是奇函数.（Ⅰ）求a,c的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间.54、已知函数dcxbxxxf23)(的图像过点P（0，2），且在点))1(,1(fM处的切线方程为076yx。（Ⅰ）求函数)(xfy的解析式；（Ⅱ）求函数)(xfy的单调区间。是奇函数.（Ⅰ）求a,c的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间.4、已知函数dcxbxxxf23)(的图像过点P（0，2），且在点))1(,1(fM处的切线方程为076yx。（Ⅰ）求函数)(xfy的解析式；（Ⅱ）求函数)(xfy的单调区间。5、（选做题）（2007年北京文科）（六）、板书设计：课题：利用导数判断函数的单调性求导法判断函数单调性的法则例题分析及解答过程（七）教学后记：