初二数学同步辅导教材(第1讲)

1初二数学同步辅导教材（第1讲）【教学进度】代数第二册§8.1§8.2【主要内容】1．因式分解2．提公因式法3．运用公式——平方式差公式分解因式【重点、难点剖析】一．因式分解1．定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。2．对因式分解应在以下几方面加深理解（1）多项式的因式分解是对多项式而言，把一个单项式写成几个单项式的积的形式，不属于因式分解。如：-6a3b3=(2a2b).(-3ab2)这个变形就不属于因式分解。（2）将一个多项式局部化成积的形式，亦不属于因式分解。如：ma-mb+c=m(a-b)+c这个变形不属于因式分解。（3）整式乘法和多项式的因式分解是互逆的两个变形，其关系如下：单项式×单项式整式乘法—单项式×多项式多项式×多项式多项式的因式分解（4）因式分解是代数中的一种重要恒等变形，乘法公式在因式分解中有着重要的作用。如：分解因式（1）9a2-4b2,(2)16x2-8xy+y2解：（1）9a2-4b2=（3a+2b）(3a-2b)(2)16x2-8xy+y2=(4x-y)2这里都是利用乘法公式对多项式进行恒等变形，达到因式分解的目的。二．提公因式法1．公因式：若多项式中各项都含一个公共的因式，则该因式叫做这个多项多的公因式。如何找一个多项式的公因式，方法是：一看系数、二看字母。公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取相同字母，并且是相同字母的最低次幂。如：多项式9x3y-12x2y2+18x2y3z各项系数的最大公约数是3，各项都会有相同的字母x,y，x的指数最低是2，y的指数最低是1，因此，公因式为3x2y。2．提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号前，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。提公因式法分解因式的一般步骤是：（1）找出各项的公因式。（2）写出公因式与另一个多项式的积（这里的另一个多项式是原多项式除以公因式所得的商式）。其中步骤（1）是提公因式法的关键。3．几点提醒（1）当一个多项式提出公因式以后，括号里再也不能提出式子出来了。（2）提公因式以后，括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致。如：分解因式4a3-6a2b+2a提公因式2a后，剩下的另一个因式应是2a2-3ab+1。（3）如果多项多的第一项系数是负数时，例如：-12x2y-16xy2，先要提出“-”号，使括反过来2号内的第一项的系数是正数，然后再对括号内的多项式进行提公因式：-12x2y-16xy2=-(12x2y+16xy2)=-4xy(3x+4y)(4)如果多项式的某一项恰巧就是公因式，那么提出公因式后，要在该项的位置上添“1”。（5）如果多项式中项的系数含有分数，那么分解后的多项式因式中的各项系数通常应化为整数。三．运用公式法——平方差公式1．把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的分法叫做运用公式法。2．运用平方差公式分解因式时，通常先把它们转化为两个单项式的平方差的形式，进而与公式a2-b2=(a+b)(a-b)对照，分清哪一项相当于公式中的a,哪一项相当于公式中的b,最终写出分解结果，如：分解因式-16+64a2，原式=64a2-16=(8a)2-42=(8a+4)(8a-4)=16(2a+1)(2a-1)3．当分解后的多项式中各项系数有公约数时，仍必必须提出，如2中所举例题。例1．下列各式由左边到右边的变形哪些是因式分解，哪些不是？（1）x2++x=x2(1+x1)(2)a2-17=(a+4)(a-4)+1(3)(a+b)(a-b)=a2-b2（4）x2y+xy2=xy(x+y)=x2y+xy2(5)–9+x2=(3+x)(x-3)解：（1）（2）（3）（4）都不是因式分解；（5）是因式分解点评：因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式；（1）题虽然也是积的形式，但1+x1不是整式；（2）题的结果是（a+4）(a-4)+1的和的形式，而不是积的形式；（3）题是整式的乘法，与因式分解运算刚好相反；（4）题分解到半路又做乘法运算回去了；（5）题则以定义去衡量，完全符合。例2．把nnnababba323498112因式分解解：原式=)364(92bababn点评：如果多项式中的系数含有分数，那么分解后的多项式因式中的各项系数通常应化为整数，如果多项式的首项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的首项系数是正数，同时括号内的其他各项都要变号。例3．把一列各式分解因式（1）a(a-b)2+(b-a)3(2)(b+c)x+(c+a)x+(a+b)x解：（1）原式=a(a-b)2+(b-a)3=(a-b)2[a-(a-b)]=(a-b)2(a-a+b)=b(a-b)2(2)原式=x(b+c+c+a+a+b)=x(2a+2b+2c)=2x(a+b+c)点评：（1）题首先把(b-a)3改写成-(a-b)3；因式分解后各个因式要进行化简；因式分解的结果，单项式要写在多项式的前面。（2）题提取的公因式后，括号内的因式要进行化简，有公因式的还需提出公因式，3每个因式必须分解到不能分解为止。例4．把(b-a)2-2a+2b因式分解解：原式=(a-b)2-2(a-b)=(a-b)(a-b-2)点评：本题进行了两次提取公因式，一次局部，一次整体。以创造条件把多项式因式(a-b)提出，达到因式分解的目的。例5．用简便方法计算33+112+66解：原式=11（3+11+6）=1120=220点评：本题对给出的式进行因式分解，以简化计算。例6．把-16(2a-b)2+9(a-3b)2因式分解解：原式=[3(a-3b)]2-[4(2a-b)]2=[3(a-3b)+4(2a-b)][3(a-3b)-4(2a-b)]=(11a-13b)(-5a-5b)=-5(a+b)(11a-13b)点评：平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)中的字母a,b不仅表示单项式，也可表示多项式，3(a-3b)相当于a,4(2a-b)相当于b;分解后的结果应化为最简形式，在化简过程中，要正确使用去括号法则和分配律，对于化简后得到的因式，可以分解的应继续分解，如本题中化简后得到的(-5a-5b),应写成-5(a+b)的形式。例7．把下列各式分解因式（1）xx8215（2）a3(a-b)2-a(a+b)2解：（1）原式=)16(214xx=)4)(4(2122xxx=)4)(2)(2(212xxxx（2）原式=a[a2(a-b)2-(a+b)2]=a[a(a-b)+(a+b)][a(a-b)-(a+b)]=a(a2-ab+a+b)(a2-ab-a-b)点评：（1）本例属于先提取公因式再运用平方差公式分解因式的类型。（2）要特别提醍的是，因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止，这是因式分解的一个基本要求，必须遵守。（3）因式分解的结果中通常不保留中括号例8．把4x2-9y2-(2x+3y)解：原式=(4x2-9y2)-(2x+3y)=(2x+3y)(2x-3y)-(2x+3y)=(2x+3y)(2x-3y-1)点评：本题先局部运用平方差公式再整体提取公式，达因式分解目的。例9．证明58-1解被20∽30之间的两个整数整除思路分析：可能通过用公式法对58-1进行因式分解。解：58-1=(54)2-1=(54+1)(54-1)=(54+1)[(52)2-1]=(54+1)(52-1)(52+1)=(54+1)(25-1)(25+1)=24×26×2624∴58-1解被24和26整除【巩固练习】1．下列各题中从左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是？（1）x2+2x-3=x(x+2)-3(2)6a2b-3ab2=3ab(2a-b)（3）-2m(m+n)=-2m2-2mn(4)x2-12x+36=(x-6)2(5)ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b)2．ab+5ab2-2b2的公因式为.3．a2+ab与a2-ab的公因式为.4．把-12m3+8m2-4m分解因式为.5．分解因式-mx2+m2x+mx=.6．分解因式=m(a+b+c)7．把3a(x-b)-9b(b-x)分解因式=.8．将-m4+m2n2因式分解的结果是（）（A）（-m2+mn）(-m2-mn)(B)–m2(m2+n2)(C)–m2(m+n)(m-n)(D)–m2(n+m)(n-m)9．将x2(x-y)2-y2(y-x)2因式分解的结果是（）（A）(x-y)2(x2+y2)(B)(x-y)2(x2-y2)(C)(x-y)2(x-y)(x+y)(D)(x-y)3(x+y)10．分解因式48(x+y+z)2-75(x-y-z)2=.11．把下列各式分解因式（1）25x4-75x5(2)–2x2n-4xn(3)–b(a+b)2+b2(a+b)(4)(m+n)(n-m)-n(m+n)(m-n)(5)a(a+b-c)-b(c-a-b)-c(b-c+a)(6)a2(a+2b)2-9(x+y)212．用简便方法计算13.731175.231178.19311713．把x(a-2)n-y(2-a)n分解因式14．解方程(5x+3)(5x+6)-(5x+3)(5x+7)=05【参考答案】1．（1）（3）（5）不是,（2）（4）是；2．b3．a4．-4m(3m2-2m+1)5．–mx(x-m-1)6．ma+mb+mc7．3(x-y)(a+3b)8．C9．D10．3(9x-y-z)(-x+9y+9z);11．(1)25x4(1-3x)，(2)–2xn(xn+2)，(3)-ab(a+b),(4)(m+n)(n-m)(1+n)，(5)(a+b-c)2，(6)(a2+2ab+3x+3y)(a2+2ab-3x-3y)，12．1713．当n是偶数时,原式=(a-2)n(x-y),当n是奇数时,原式=(a-2)n(x+y)14．x=53