初中学生数学建模能力缺失分析及培养对策

1初中学生数学建模能力缺失分析及培养策略宣威市宝山镇第二中学校余俊表〔摘要〕数学知识来源于生活，又服务于生活。数学建模与解应用题有着内在联系，基于此，数学教学要从学生的生活经验和已有的知识出发，找出初中生数学建模困难、缺失的原因，创设生动、有趣的情境，引导学生从生活实践活动中观察问题、思考问题，理解数学。提高初中学生解应用题建模能力的几种策略：降低起步难度，树立建模信心；丰富生活背景，增强建模能力；提高学生的阅读理解能力；培养多向思维，开阔建模思路；注重模型归类，提高建模能力；一题多模，多题一模，训练学生归纳能力；从社会热点问题出发，让学生直接接触数学建模，培养学生抽象能力以及运用数学知识能力。〔关键词〕建模能力兴趣培养生活背景思维模式数学模型全日制义务教育《数学课程》中指出“数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础……”，从以上叙述中我们可以了解到数学模型的重要性，数学建模是初中数学的重要任务之一，它是培养学生应用数学的意识和能力的有效途径和强有力的教学手段。随着现代信息技术的飞速发展，极大地推进了应用数学与数学应用的发展，使得数学几乎渗透到每一个科学领域及人们生活的方方面面。难怪有人认为“海湾战争”实际是一场“数学的战争”，能用数学眼光看待生活，认识世界，并综合应2用数学知识和数学方法，解决实际问题，将成为每个公民应该具备的基本素养。新课标强调从生产、生活等实际问题出发，引导学生运用数学知识，去解决实际问题，培养应用意识与能力。但从教学的反馈信息看，初中学生对应用题普遍感到害怕，特别是文字较多、背景复杂、数字较多的应用题更是束手无策，遇到这样的题目就认为是难题，感到无从下手。主要原因是初中学生不能运用数学知识建立解决日常生活实际情境和非数学教学学科问题的数学模型。通过23年的教学实践，在教学研讨的基础上吸取别人的教学经验，浅略总结出了初中生数学建模缺乏的一些主要原因，提出在教学过程中培养学生数学建模能力的一些策略。一、初中生建模能力缺失的原因分析1、缺乏解决问题的自信心，有畏难心理在小学低段里，数学主要是加减乘除的运算，学生只要细心点，一般能考高分。到高段出现应用题后，由于一些学生对应用题的理解能力较弱，数学成绩明显下降，从而导致学生对应用题产生惧怕心理。有的学生看到应用题就当作难题，认为自己肯定做不来。学生对解决实际问题缺乏自信心，这种不良心理直接影响到初中用建模思想解应用题的能力。其次，新课程与原教材相比，数学实际问题的文字叙述更加语言化，更贴近现实生活，题目也比较长，数量也比较多，数量关系显得分散隐蔽。因此，学生在面对一大堆非形式化的材料，感到很茫然，不知从何下手，产生惧怕数学应用题的心理。如在信息的加工处理过程中，受自身阅读能力以及数学基础知识的掌握程度的影响，即使读懂题目，也无法把应用题中包含的数学对象间的复杂关系线性化，从而无法解题；在3信息的提炼过程中，受学生数学语言转换能力的影响，无法把实际问题与对应的数学模型联系起来。一旦学生产生畏难心理，只要看到阅读量大的题目，就会影响到阅读的兴趣；甚至一些学生遇到这类题，连题目都没有读一遍，总认为难，采取的行动总是放弃。2、思维定势思维定势是由先前活动而造成的一种对活动的特殊的心理准备状态或活动的倾向性。在环境不变的条件下，定势能够使人应用已掌握的方法迅速地解决问题，而在情境已发生变化时，它则会妨碍人们采用新的解决方法。由于小学应用题比较简单，采用算术方法解题可直接写出计算的式子。而初中里的应用题背景更加复杂，很难直接写出计算的式子。要通过合理设元找到变量与常量的关系，通过解方程（组）、不等式、函数等数学方法来解决。由于小学算术法的思维定势，阻碍了学生用建模思想来解应用题的思维。3、同类数量关系不清楚用方程解应用题的关键是找出同类量之间的数量关系，由于一些学生对同类量关系没搞清楚，如多、少、倍、分、早、迟、快、慢等，从而影响解题的正确性。例如：八年级学生去距离学校10千米的博物院参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是骑车的同学的2倍，求骑车同学的速度？针对这类问题，学生不理解“先走同时到”，“先走后到”，“先走先到”的题目含意；找不到数量关系，特别是“过了20分钟后”这句话难4以理解。4、不理解实际问题中的一些术语由于数学应用题中往往有许多其他知识领域的名词术语，学生与这些术语有关的生活经验较少，不理解术语的含义，从而读不懂题目，更无法正确理解题意。例如实际生活中的利率、利润、打折、保险金、保险费、纳税率、折旧率等概念，如果这些基本的概念都搞不懂，那么涉及这些概念的实际问题就无法正确理解题意，更谈不上解决问题。例如：关于个人所得税法的问题随着我国法制制度的逐步健全，公民享有充分的权利和义务，依法纳税是每个公民应尽的义务，《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月的工资、奖金等所得收入不超过1600元的不必纳税；超过1600元的部分为全月应纳税所得额（应该纳税的工资、薪金收入），此项税款按下表分段进行计算：应纳税所得额税率不超过500元部分5%超过500元到了2000元部分10%超过2000元到了5000元部分15%超过5000元到了10000元部分20%…………（1）若某人一个月的收入为2300元，则应纳税：500×5%+200×10%=45（元），（2）若某人上月缴了250元的税，说明他上月的收入在世界上3600元纳税额为500×5%+1500×10%=175（元），若没超过3600元5的部分为X元，则:X·15%=250-175X=500于是知道这个人上月的收入是4100元。本问题学生不熟悉的名词术语是：全月应纳税额、税率。由于本题是函数中的分段函数，学生不理解工资、资金的那部分纳税时税率是5%，10%，15%，20%，……对应的是哪部分，而是把所有的工资、资金收入除去1600元后，不超过500元按5%纳税，超过500元不超过2000元按10%纳税，而不知道要逐级纳税。这就是学生不懂题目，不理解题意所产生的错解。特别是某人缴250元的税，不知道上月的收入在3600元到6600元之间，这是解此类题的一个难点。5、不善发现隐含条件有些应用题的背景较复杂，一些具有关键意义的特征被其他因素所掩盖，学生不易发现隐含条件，从而很难找到数量关系中的“等量关系”，导致无法列出方程（组）或函数关系。例如：一列火车匀速行驶，经过一条长300米的隧道需要20S的时间，隧道的顶上有一盏灯垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10S。根据以上数据，你能否求出火车的长度？若能，火车的长度是多少？若不能，请说明理由。这是一道需要对两种结果进行判断的问题。设火车长Xm，垂直向下的灯光照在火车上10S，即从火车头经过一个定点到火车尾经过这点用时10S，车速为10Xm/s，另一方面，粗看题目容易误认为火车速度是5m/S,6（即300÷20），于是得到火车长150m。仔细考虑会发现：火车经过300米的隧道是指从火车头进隧道起至火车尾出隧道止，这20S的时间火车经过的路程是（300+X）m，因此车速为（300+X）÷20，于是：20300X=10XX=3007、不会采用有效的方法处理实际问题中复杂的数据在许多问题中，涉及到的数据多且杂乱，学生面对如此多而杂乱的数据感到无从下手，不知该把哪个数据作为思维的起点，从而找不到解决问题的突破口。例如：某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A、B两种产品50件。已知生产一件A种产品需要用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元。生产一件B种产品，需要用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元。（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？（2）生产A、B两种产品获总利润y元，其中一种的生产件数为x，试写出x与y,试写出x与y之间的函数关系式，并利用函数性质说明（1）中哪种生产方案获利润最大？最大利润是多少？解：（略）本题是一道从利润角度安排生产计划的实际应用题，这道题是制订生产方案，而方案的制订主要受生产原料的制约，在现有甲、乙两种材料分别为360千克和290千克的情况下，题目数量众多，许多学生不采取有效的方法梳理这些量的关系，从而不能正确用这些已知量解决问题。78、不会灵活设未知数列方程解应用题时，学生习惯采用直接设元，即求什么就设什么。但对一些复杂的问题，直接设元很难表达相关的量，或找出的关系式很复杂，从而就很难用建模思想解决实际问题。9、缺乏生活经验由于初中生缺乏一些生活常识，对应用题中的一些名词不理解，从而使审题受到阻碍，导致学生不能解题或解题产生错误。如单循环赛、上涨幅度、采光影响、翻二番、%0等，这些概念很多学生都是不清楚的。二、培养学生数学建模能力的策略1、降低起步难度，树立建模信心为了克服学生对应用题的惧怕心理，教师要根据学生实际，降低起步难度。例题要分析清楚，讲解仔细，分步到位；对较难的应用题，要设置过渡性问题，让学生分层递进。例如：已知一个容器内盛满纯酒精50L，第一次倒出一部分纯酒精后，用水加满，第二次又倒出同样多的酒精溶液，再用水加满，这时容器中的酒精溶液含纯酒精32L，求每次倒出溶液的升数。（1）已知一个容器内盛有质量分数为90%的酒精溶液50L，求容器中含有的纯酒精为多少？（2）已知一个容器内盛有纯酒精50L，倒出10L后用水加满，酒精的质量分数是多少？（3）已知一个容器内盛有纯酒精50L，倒出10L后用水加满，加满后再倒出10L，求倒出后容器中还剩多少纯酒精？8为了降低本题难度，我又设置以下两个问题：（1）设每次倒出溶液x升，则第一次倒出酒精____升，容器内剩酒精___升；用水加满后，容器内酒精溶液的质量分数为______。（2）第二次倒出x升酒精溶液中含有纯酒精____升，容器中还剩纯酒精____升（用x的代表式表示）。学生阅读思考，教师引导学生分析以上问题，这类问题就迎刃而解了。学生练习设置要有梯度，从易到难，循序渐近。课外作业采用分层布置：A组基础题；B组加强题；C组提高题，让学生根据自己的现有能力挑选作业。更重要的是单元测试题不能偏难，要注重基础，让学生体验成功的快乐，这样才能提高学生解应用题的信心。2、丰富生活背景，增强建模意识数学建模问题往往不是单纯的数学问题，它涉及到其它学科知识及生活知识。所以教师要查阅资料、收集信息，千方百计拓宽自己的知识面，同时鼓励学生多接触社会，丰富自己的生活阅历，为正确建立数学模型，奠定必要的基础。为了培养学生对解应用题的兴趣，教师要根据学生已有知识改编书上例题背景，尽可能设置与学生息息相关的生活背景，捕捉社会热点问题让学生去解决问题，使学生感受到数学无处不在，生活中离不开数学，从而增强学生的建模意识。例如：把面积为4平方米的长方形割成如图所示的正方形和长方形两个部分，求正方形的边长。我把它设计成贴近学生生活的实际背景。为了美化校园，学校决定把面积为400平方米的长方形草坪分割成如图所示的正方形和长方形两部分，9在正方形内种上茶花。为保证阳光充足，每0.5平方米内种一株茶花，请你为学校总务处算一算，需购买多少株茶花？分析：欲求购买茶花株数，要先求出正方形面积，求正方形面积就是正方形边长。此题与书上的例题实质是同一个问题，只是设计了更丰富的生活背景，不仅激发学生的解题兴趣，还能更好地培养学生的建模思想，可谓一举两得。3、提高学生数学的阅读、理解能力数学教学必须重视数学阅读。作为数学教师，不仅要重视培养学生的阅读能力，还要注重教给学生科学有效的数学阅读方法，让学生认识到数学阅读的重要性，使学生体验到数学阅读的乐趣及对学习的益处，从而在兴趣的驱动下，自觉主动地进行数学阅读。在数学阅读中，对问题中的重点语句、关键词认真的加以分析，将问题转化为符号语言，进而挖掘其所含的数学知识。4、培养多向思维，开阔建模思路数学建模的问题都有假设条件及要达到的目标，建模就是要将条件与目标联系起来，这种联系是多向的，