初三数学反比例函数知识点及举例

亿库教育网反比例函数知识梳理知识点l.反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念难点：理解反比例函数的概念一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成xky或y=kx-1（k为常数，0k）的形式，那么称y是x的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点：（1）k是常数，且k不为零；（2）xk中分母x的指数为1，如22yx不是反比例函数。（3）自变量x的取值范围是0x一切实数.（4）自变量y的取值范围是0y一切实数。知识点2.反比例函数的图象及性质重点：掌握反比例函数的图象及性质难点：反比例函数的图象及性质的运用反比例函数xky的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是0x，因此不能把两个分支连接起来。（3）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。反比例函数的性质xky)0k(的变形形式为kxy（常数）所以：（1）其图象的位置是：当0k时，x、y同号，图象在第一、三象限；当0k时，x、y异号，图象在第二、四象限。（2）若点(m,n)在反比例函数xky的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。（3）当0k时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当0k时，在每个象限内，y随x的增大而增大；亿库教育网知识点3.反比例函数解析式的确定。重点：掌握反比例函数解析式的确定难点：由条件来确定反比例函数解析式（1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式xky中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入xky中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。（2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：①设所求的反比例函数为：xky（0k）；②根据已知条件，列出含k的方程；③解出待定系数k的值；④把k值代入函数关系式xky中。知识点4.用反比例函数解决实际问题反比例函数的应用须注意以下几点：①反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。②针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。③列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。知识点5.反比例函数综合最新考题综观2009年全国各地的中考数学试卷，反比例函数的命题放在各个位置都有，突出考查学生的数形结合思想、学科内综合、学科间综合、实际应用题、新课程下出现的新题等方面，在考查学生的基础知识和基本技能等基本的数学素养的同时，加强对学生数学能力的考查，突出数学的思维价值。函数题型富有时代特征和人文气息，很好地践行了新课程理念，“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的。”2010年中考反比例函数复习策略：1．抓实双基，掌握常见题型；2．重视函数的开放性试题；考查目标一.反比例函数的基本题例1在函数12yx中，自变量x的取值范围是（）。A、x≠0B、x≥2C、x≤2D、x≠2例2．反比例函数6yx图象上一个点的坐标是。考查目标二.反比例函数的图象例1．根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p(pa)与它的体积v(m3)的乘积是一个常数k，即pv＝k(k为常数，k＞0)，下列图象能正确反映p与v之间函数关系的是（）。pvOpvOpvOpvOABCDD亿库教育网例2已知反比例函数)0(kxky的图像上有两点A(1x，1y)，B(2x，2y)，且21xx，则21yy的值是（）A、正数B、负数C、非正数D、不能确定考查目标三、反比例函数图象的面积与k问题例1、反比例函数xky（k0）在第一象限内的图象如图1所示，P为该图象上任一点，PQ⊥x轴，设△POQ的面积为S，则S与k之间的关系是（）A．4kSB．2kSC．S=kD．Sk例2．设P是函数4px在第一象限的图像上任意一点，点P关于原点的对称点为P’，过P作PA平行于y轴，过P’作P’A平行于x轴，PA与P’A交于A点，则PAP△的面积（）A．等于2B．等于4C．等于8D．随P点的变化而变化考查目标四.利用图象，比较大小例1．已知三点111()Pxy，，222()Pxy，，3(12)P，都在反比例函数kyx的图象上，若10x，20x，则下列式子正确的是（）A．120yyB．120yyC．120yyD．120yy考查目标五.反比例函数经常与一次函数、二次函数、圆等知识相联系例1．如图，A、B是反比例函数y＝2x的图象上的两点。AC、BD都垂直于x轴，垂足分别为C、D。AB的延长线交x轴于点E。若C、D的坐标分别为（1，0）、（4，0），则ΔBDE的面积与ΔACE的面积的比值是（）A．21B．41Ｃ．81D．161例2．如图，二次函数mxmxy)14(412（m4）的图象与x轴相交于点A、B两点．（1）求点A、B的坐标（可用含字母m的代数式表示）；（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数9yx的图象相交于点C，且∠BAC的余弦值为45，求这个二次函数的解析式．过关测试一、选择题：1、若反比例函数22)12(mxmy的图像在第二、四象限，则m的值是（）亿库教育网、－1或1B、小于21的任意实数C、－1Ｄ、不能确定2、正比例函数kxy和反比例函数xky在同一坐标系内的图象为（）ABCD3、在函数y=xk(k0)的图像上有A(1,y1)、B(－1,y2)、C(－2,y3)三个点，则下列各式中正确的是（）(A)y1y2y3(B)y1y3y2(C)y3y2y1(D)y2y3y14、在同一直角坐标平面内，如果直线xky1与双曲线xky2没有交点，那么1k和2k的关系一定是（）A1k0，2k0B1k0，2k0C1k、2k同号D1k、2k异号5、若点（x1，y1）、（x2，y2）是反比例函数xy1的图象上的点，并且x1＜x2＜，则下列各式中正确的是（）A、y1＜y2B、y1y2C、y1=y2D、不能确定二、填空题：1、反比例函数0kxky在第一象限内的图象如图，点M是图像上一点，MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是；2、已知y-2与x成反比例，当x=3时，y=1，则y与x间的函数关系式为；3、在体积为20的圆柱体中，底面积S关于高h的函数关系式是；4、对于函数2yx，当2x时，y的取值范围是______y______；当2x时且0x时，y的取值范围是y______1，或y______。（提示：利用图像解答）三解答题1、如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数myx的图象相交于A、B两点（1）根据图象，分别写出A、B的坐标；（2）求出两函数解析式；（3）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值yxoyxoyxoyxoyxOPM亿库教育网、如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线xky与直线)1(kxy在第二象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=23（1）求这两个函数的解析式（2）A，C的坐标分别为（-，3）和（3，1）求△AOC的面积。3、如图，已知反比例函数y=xm的图象经过点A（1，-3），一次函数y=kx+b的图象经过点A与点C（0，-4），且与反比例函数的图象相交于另一点B.试确定这两个函数的表达式；4、如图，已知点A（4，ｍ），B（－1，ｎ）在反比例函数xy8的图象上，直线AB与ｘ轴交于点C，（1）求n值（2）如果点D在x轴上，且DA＝DC，求点D的坐标.5、如图正方形OABC的面积为4，点O为坐标原点，点B在函数kyx（k﹤0,x﹤0）的图象上，点P(m,n)是函数kyx（k﹤0,x﹤0）的图象上异于B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F。（1）设长方形OEPF的面积为S1，判断S1与点P的位置是否有关（不必说理由）（2）从长方形OEPF的面积中减去其与正方形OABC重合的面积，剩余的面积为S2，写出S2与m的函数关系，并标明m的取值范围。OyxBACCBO4-1Ayx亿库教育网答案一、1、B2、A3、C4、C5、B6、B7、A8、D9、B10、B11、D12、C二、1、﹥2、63、24、32yx5、20Sh（h﹥0）6、01≥﹤三、1、（1）A（-6，-2）B（4，3）（2）y＝0.5x＋１，y＝x12（3）－６x0或x42、（1）3yxy=-x+2（2）43、3yx4yx4、（1）2yx1yx（2）x﹤-2或0﹤x﹤15、（1）n=-8(2)D(4,0)6、（1）没有关系（2）由题意OC=OA=2B（-2，2）函数关系式为4yx∵P（m,n）在4yx的图象上∴4nm①P点在B点的上方时24()2()42smmmm（-2﹤m﹤0）②P点在B点的下方时2448()2()4smmmm（m﹤-2）B