全国大学生数学竞赛获奖论文

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：所属学校（请填写完整的全名）：大连海事大学参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：教师组（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期2014年9月14日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要月球是距离地球最近的天体,对月球资源和环境进行科学研究和考察,是人类走出地球,探索未知世界所必需经历的重要步骤。由于月球表面没有大气,因此在月球表面实现软着陆是月球勘探的重要前提。所谓月球软着陆，是指月球着陆器经地月转移到达月球附近后，在制动系统的作用下以很小的速度近乎垂直地降落到月面上，以保证宇航员的安全和试验设备的完好。[1]转化为具体的控制要求就是要求当登月探测器高度接近地面时，竖直方向上的速度和加速度也应基本为零，同时在水平方向上也不能有很大的速度和加速度。嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题在于着陆轨道与控制策略的设计。本文运用动力学模型法、轨道离散化、蒙特卡罗打靶等方法解决了嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略等问题。针对问题一，已知近月点距离月球表面的距离和月球的半径，根据万有引力定律计算出嫦娥三号位于近月点时的速度，再运用开普勒第二定律计算出其位于远月点时的速度；针对问题二，着重对月球软着陆制动段、接近段和着陆段的飞行动力学模型进行了研究，同时基于动力学模型对各阶段制导律进行了优化设计。制动段飞行时间和距离较长，拟采用均匀球体模型，该模型也是软着陆全过程下降轨迹分析和动力学仿真的基础[1]；制导律设计中考虑到该段燃料消耗很大，所以以燃料最优为设计指标。接近段距离月面较近，且经姿态调整后接近垂直下降，拟采用平面月球模型；制导律设计采用基于重力转弯技术的最优开关制导律。着陆段几乎垂直下降，动力学模型可在平面月球模型的基础上简化为一维垂直下降模型，制导律设计拟在垂直方向采用简单的程序制导方式。针对问题三在考虑测量、推力误差以及环境干扰等影响下对着陆精度进行了初步仿真分析，结果表明，给出的软着陆三阶段动力学模型和制导律是可行的。关键词：月球软着陆矢量空间飞行动力学建模制导律设计着陆精度仿真2一、问题重述嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道，着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为主减速、快速调整、粗避障、精避障、缓速下降、自由落体6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态，并且尽量减少软着陆过程的燃料消耗。根据要求，建立数学模型解决问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。（3）对于设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。二、问题分析软着陆过程中，制动段持续时间和经过的月面距离最长，着陆过程绝大部分燃耗都发生在该下降段。因此，该段的动力学建模和制导律设计最为重要。本文在制动段动力学建模中除了给出用于制导律设计的动力学模型外，也给出了用于软着陆全过程飞行轨迹和下降窗口分析设计的月心惯性系下的动力学模型.该部分动力学模型也是全过程飞行轨迹参数计算和着陆精度仿真分析的基础。制动段飞行动力学建模与制导律设计该段中，着陆器距离月面相对较高，且着陆器走过的月面距离比较长，将月球视为平面建立模型会带来较大的偏差。因此，制动段有必要将月球视为球体来建立均匀球体下的三维软着陆模型[1]。制动段推进系统采用常值推力方式，通过姿态控制来完成制动力方向的改变。三、模型假设1、将月球视为一个均匀球体，所有质量集中在球心位置；2、嫦娥三号只受到月球对它的引力作用，忽略其他星球对其引力；3、着陆过程中将嫦娥三号视为均匀球体模型；4、假设嫦娥三号接近段距离月面较近时，垂直下降，并且对月球拟采用平面月球模型。5、不考虑摄动影响且忽略月球自转。6、月球对嫦娥三号的重力加速度不变。3四、符号说明符号说明𝑭嫦娥三号受到的万有引力𝑴月球的质量𝒎嫦娥三号的质量𝒓𝟏近地点到月球球心的距离𝒓𝟐远地点到月球球心的距离𝑮万有引力常量𝝂𝒆比冲𝒂月球表面重力加速度五、模型建立与求解问题一嫦娥三号卫星在月球椭圆轨道上运行时，受到月球对它的引力作用。由牛顿万有引力定律𝐹=𝐺𝑀𝑚𝑟2，𝐺=6.67×10−11该力也为其圆周运动提供向心力𝐹=𝑚𝑣12𝑟14其中𝑀=7.3477×1022𝑘𝑔，𝑟1=（1737.01+15）𝑘𝑚由以上两式易得嫦娥三号在月球近地点时的速度大小为𝑣1=1.67×103𝑚/𝑠方向平行于椭圆轨道在该点的切线方向。图1由开普勒第二定律，单位时间内月球与嫦娥三号卫星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，即Sek=Scd=Sab（如上图所示）。所以12𝑣1𝑡𝑟1=12𝑣2𝑡𝑟2解得嫦娥三号位于远地点的速度大小为𝑣2=1.59×103𝑚/𝑠a𝑥=𝑇𝑥𝑚a𝑦=𝑇𝑦𝑚−a∫𝑇𝑥𝑚−∫𝑄𝑡0𝑑𝑡𝑑𝑡𝑡0=𝑣𝑥∫(𝑇𝑦𝑚−∫𝑄𝑡0𝑑𝑡−𝑎)𝑑𝑡𝑡0=𝑣𝑦√(𝑇𝑥2+𝑇𝑦2)=7500N𝑣𝑡2=2a𝑡×𝑆其中a𝑥：水平方向加速度5a𝑦：竖直方向加速度𝑇𝑥：推力的水平方向分力𝑇𝑦：推力的竖直方向分力t:主减速时间S：嫦娥三号主减速段水平位移Q：嫦娥三号发动机燃料秒消耗率联立以上各式解得𝑆=451824.5m根据已知资料得到嫦娥三号着陆过程中经度基本不变，纬度改变，月球赤纬和地球纬度一样也分为南北各90个分度，又因为月球极区半径r3=1735.843km,所以每一个纬度的竖直高度差为19.28714km。即近月点位置为（19.51W，67.55N，15km），远月点位置为（160.49E，22.45，100km）问题二5.1制动段均匀球体三维动力学模型首先定义几个坐标系:1)参考惯性坐标系O𝑋𝑟𝑌𝑟𝑍𝑟。原点O位于月球中心，𝑍𝑟轴由月心指向初始软着陆点，𝑋𝑟轴位于环月轨道平面内且指向前进方向，𝑌𝑟轴与𝑋𝑟，𝑍𝑟构成直角坐标系.该坐标系仅用于软着陆下降轨迹和制导律设计中；2)下降轨道参考坐标系o𝑋𝑜𝑌𝑜𝑍𝑜.原点o位于着陆器质心，𝑍𝑜轴由月心指向着陆器质心为正，𝑋𝑜轴位于当地水平面内且指向着陆器前进方向，𝑌𝑜轴与𝑋𝑜和𝑍𝑜轴构成直角坐标系；3)着陆器体坐标系oX𝑏𝑌𝑏𝑍𝑏，原点o位于着陆器质心，X𝑏轴在制动推力矢量延长线上，沿推力方向为正，𝑌𝑏，𝑍𝑏轴分别根据着陆器上仪器设备的安装而定，并与X𝑏轴构成直角坐标系。坐标系示意图及着陆器位置与推力矢量关系如图2所示。6图2软着陆坐标系定义与推力矢量空间关系[1]图2(a)给出了上面各坐标系的示意和着陆器在坐标系中的位置，图2(b)给出了F在下降轨道参考坐标系中的位置。其中，α为在𝑋𝑟𝑌𝑟平面内的横向月心角；𝛽为下降轨道平面内的纵向月心角；推力F与坐标系o𝑋𝑜𝑌𝑜𝑍𝑜之间的2个推力方向角分别为推力方位角和推力仰角𝜃，他们定义为：推力方位角绕正𝑍𝑜轴旋转为正，推力仰角绕负𝑌𝑜轴旋转为正。分别用U，V，W表示着陆器下降速度在坐标系o𝑋𝑜𝑌𝑜𝑍𝑜三轴上的分量，于是有W=ṙ，U=rβ̇，V=rα̇sin𝛽若不考虑摄动影响且忽略月球自转，同时引入质量方程，可利用球坐标系与直角坐标系的关系最终得到下降轨道参考坐标系下的软着陆动力学模型。{𝑟̇=𝑊,α̇=Vrsinβ,β̇=Ur,̇𝑈̇=𝐹cos𝜃cosψ𝑚−𝑈𝑊𝑟+𝑉2𝑟tan𝛽,𝑉̇=𝐹cos𝜃sinψ𝑚−𝑉𝑊𝑟−𝑈𝑉𝑟tan𝛽,𝑊̇=Fsin𝜃m−μ𝑚𝑟2+𝑈2+𝑉2𝑟𝑚̇=𝐹𝜈𝑒上式表示的制动段动力学模型也是软着陆全过程的动力学仿真模型。5.2接近段平面月球二维动力学模型该段中,着陆器距离月面较近，下降时间很短，且由于着陆器接近垂直下降，因而经过的月面距离很短，此段可将月球视为平面来建立月球平面直角坐标系。7图3月球平面直角坐标系图3所示的月球平面直角坐标系，原点O为下降轨道上制动发动机点火点在月球表面的投影，X0𝑌0为下降轨道参考系纵向平面，着陆器的下降轨迹位于此平面内。图3表示的是符合重力转弯软着陆的情况[1]，即反推力F的方向与下降速度方向相反。对于这样的情况，沿两坐标轴方向有如下的动力学方程（5.2）{𝑋0̈=U̇=−(Fcos𝛾)m=−FUmv,𝑌0̈=𝑊̇=−𝐹sin𝛾𝑚−𝑔𝑚=−𝐹𝑊𝑚𝑣−𝑔𝑚上式中，m为飞行器质量，在短时间内可视为常值；𝑔𝑚为月球表面的重力加速度，始终垂直于月球表面且为常值；γ为飞行路径角，即为下降速度矢量v与X0轴的夹角，从X0轴开始逆时针量起为正，v为下降速度的模,v=√𝑈2+W2。在下降速度v和垂直于下降速度v两个方向还可建立如下的动力学方程：{ℎ̇=−𝑣cos𝜃,𝑣̇=−(𝐹𝑚)×𝑢+cos𝜃𝛾̇=−(𝑔𝑚sin𝜃𝑣),𝑚̇=−𝑐𝑢其中，补充了高度方向的微分方程和质量变化方程[2]；ϑ为垂直方向与速度方向的夹角，由垂直方向逆时针旋转为正；常数𝑐为燃料每秒消耗量；𝑢为制动力的开关量，以图3中F所示的方向为正。5.3着陆段垂直动力学模型8该段中，着陆器距离月面很近，且着陆器几乎沿竖直方向下降，因此，该段仍可采用平面月球动力学模型，如图3所示，理想情况下，着陆器在着陆段沿竖直方向下降，则可在平面月球二维模型基础上简化为一维垂直动力学模型，即要求其中的飞行路径角𝛾=90°。因此，(5.2)式可简化为𝑌0̈=𝑊̇=𝐹×𝑢𝑚−𝑔𝑚上式中，𝑢为制动力𝐹的开关控制量。着陆段一维垂直下降如图所示图4着陆段下降过程示意[1]对于推力𝐹大小固定的情况，先关后开是最简单的着陆方式。于是，着陆器依次经过悬停、匀加速、匀减速和关机降落几个过程。几个过程均符合牛顿定律,易得开关切换高度h1𝑙=[𝑣0𝑙2−𝑣2𝑙2+2(𝑎2𝑙ℎ2𝑙−𝑎1𝑙)]2(−𝑎1𝑙)其中，合加速度𝑎1𝑙=a𝐹1𝑙−𝑔𝑚,𝑎2𝑙=𝑎𝐹2𝑙−𝑔𝑚,考虑到着陆的安全性，在着陆段初始要进行短时间的悬停以对着陆区域进行成像勘察，且由于着陆段时间很短，因此应保