函数单调性2

函数的单调性与导数•1.通过实例了解函数导数的符号与函数单调性之间的关系；•2.能够利用导数研究函数的单调性；•3.会求函数的单调区间.•1.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间．(重点)•2.利用数形结合思想理解导函数与函数单调性之间的关系．(难点)•3.常与方程、不等式等结合命题.•用函数的导数判断函数单调性的法则•设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，•(1)如果在(a，b)内，f′(x)0，则f(x)在此区间是增函数；•(2)如果在(a，b)内，f′(x)0，则f(x)在此区间是减函数．•上述结论可用图来直观理解．•1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()•A．(－∞，2)B．(0,3)•C．(1,4)D．(2，＋∞)•解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，•令f′(x)＞0，解得x＞2.故选D.•答案：D2．y＝xlnx在(0,5)上的单调性是()A．单调递增B．单调递减C．在0，1e上单调递减，在1e，5上单调递增D．在0，1e上单调递增，在1e，5上单调递减•答案：C解析：函数的定义域为(0，＋∞)．因为y′＝lnx＋1，令y′0，得x1e；令y′0，得x1e.所以函数y＝xlnx在0，1e上是减函数，在1e，5上是增函数．3．若函数y＝a(x3－x)的单调减区间为－33，33，则a的取值范围是________．解析：由y′＝a(3x2－1)＝3ax－33x＋330的解集为－33，33知，a0.答案：(0，＋∞)4．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝43x3－2x2＋8；(2)f(x)＝x＋bx(b＞0)．解析：(1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝4x2－4x＝4x(x－1)，令f′(x)＞0，得x＜0或x＞1，∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，0)和(1，＋∞)；令f′(x)＜0，得0＜x＜1，∴函数f(x)的单调减区间为(0,1)．(2)函数的定义域为{x|x∈R且x≠0}．f′(x)＝x＋bx′＝1－bx2＝1x2(x＋b)(x－b)，令f′(x)＞0，得x＜－b或x＞b，∴函数的单调增区间为(－∞，－b)，(b，＋∞)；令f′(x)＜0，则－b＜x＜b，且x≠0，∴函数的减区间为(－b，0)，(0，b).•求下列函数的单调区间．•(1)f(x)＝x－x3；•(2)f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，x∈(0,2π)[解题过程](1)f′(x)＝1－3x2，令1－3x20，解得－33x33.因此，函数f(x)的单调增区间为－33，33.令1－3x20，解得x－33或x33.因此，函数f(x)的单调减区间为－∞，－33，33，＋∞.(2)f′(x)＝cosx＋sinx＋1＝2sinx＋π4＋1.令2sinx＋π4＋10，得0xπ或3π2x2π.因此函数的单调增区间为(0，π)与3π2，2π.令2sinx＋π4＋10，得πx3π2，因此函数的单调减区间为π，3π2.[题后感悟](1)利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)0或f′(x)0，不等式的解集就是函数的单调区间．(2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”、“和”等连接，而不能写成并集的形式．如本例(2)中的单调减区间不能写成(0，π)∪3π2，2π.(3)要特别注意函数的定义域．1.求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝exx－2；(2)f(x)＝4x＋1x.解析：(1)f′(x)＝exx－2－exx－22＝exx－3x－22，函数的定义域是{x|x≠2}，令f′(x)＞0，解得x＞3；令f′(x)＜0，解得x＜3且x≠2，所以函数的单调递增区间是(3，＋∞)，单调递减区间是(－∞，2)和(2,3)．(2)由于f(x)＝4x＋1x，则函数的定义域是{x|x≠0}，而f′(x)＝4－1x2，令f′(x)＞0，解得x＞12或x＜－12；令f′(x)＜0，解得0＜x＜12或－12＜x＜0，故函数f(x)的单调递增区间是12，＋∞和－∞，－12；单调递减区间是0，12和－12，0.证明：函数f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增函数．[策略点睛][解题过程]证明：f′(x)＝1x·x－lnxx2＝1－lnxx2.∵0x2，∴lnxln21,1－lnx0.∴f′(x)＝1－lnxx20.根据导数与函数单调性的关系，可得函数f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增函数．•[题后感悟](1)如何利用导数判断或证明函数的单调性？•利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)0(f′(x)0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数f′(x)；②判断f′(x)的符号；③给出单调性结论．•(2)注意事项：•如果出现个别点使f′(x)＝0，不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性．•2.已知a0，且a≠1，证明函数f(x)＝ax－xlna在(－∞，0)内是减函数．•证明：∵f′(x)＝axlna－lna＝lna(ax－1)，x0.•∴当a1时，∵lna0，ax1，∴f′(x)0，•即f(x)在(－∞，0)内是减函数；•当0a1时，∵lna0，ax1，f′(x)0，•即f(x)在(－∞，0)内是减函数．•综上，函数f(x)在(－∞，0)内是减函数．•若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，求实数a的取值范围．[题后感悟](1)一般地，已知函数的单调性，如何求参数的取值范围？函数在区间[a，b]上单调递增减―→f′x≥0f′x≤0在区间[a，b]上恒成立―→利用分离参数法或函数性质求解恒成立问题―→对等号单独验证•(2)注意事项：•一般地，最后要检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0.若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解．•(3)三次函数与二次函数的关系是什么？•在导数的应用中，三次函数是常见的一种函数，在二次函数的基础上，应了解三次函数的图象和一些性质．一般地，三次函数的图象是一个“双峰”的曲线，它的导函数是一个二次函数；三次函数的单调区间的端点就是它的导函数的零点，也就是相应方程的根．3.已知函数f(x)＝2ax－1x2，x∈(0,1]．若f(x)在区间(0,1]上是增函数，求a的取值范围．解析：由已知得f′(x)＝2a＋2x3，∵f(x)在(0,1]上单调递增，∴f′(x)≥0，即a≥－1x3在x∈(0,1]上恒成立．而g(x)＝－1x3在(0,1]上单调递增，∴g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1.∴a的取值范围是[－1，＋∞)．•1．函数的单调性与导数•(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．•(2)一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间．•(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．•(4)注意在某一区间内f′(x)0(或f′(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件．(例如f(x)＝x3)．•(5)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数．如f(x)＝3，则f′(x)＝3′＝0.•(6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思想．•(7)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)＞0，则f(x)在该区间上仍为增函数．•[特别提醒]若无穷多个点使f′(x)＝0，那么这些点必须是离散的，不能构成区间．•2．求函数的单调区间的方法•求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，这些不等式的解就是所求的单调区间．•求函数单调区间的步骤如下：•(1)求f(x)的定义域；•(2)求出f′(x)；•(3)解不等式f′(x)0(或f′(x)0)可得函数的增区间(或减区间)．•3．判断函数的单调性的方法•判断函数f(x)在(a，b)内的单调性的方法：•(1)求f(x)的定义域；•(2)求出f′(x),判定f′(x),在(a，b)内的符号；•(3)作出结论．•4．利用函数单调性讨论有关参数•求函数y＝f(x)的单调增区间、减区间分别是解不等式f′(x)＞0，f′(x)＜0所得的x的取值集合．反过来，若已知f(x)在区间D上单调递增，求f(x)中的参数值怎么办？这类问题往往转化为不等式的恒成立问题：即f′(x)≥0在D上恒成立，求f(x)中的参数值，并验证f′(x)在D上不恒为0.•◎求函数f(x)＝2x2－lnx的单调区间．【错解】f′(x)＝4x－1x＝4x2－1x，由f′(x)＞0得x＞12或－12＜x＜0由f′(x)＜0得x＜－12或0＜x＜12∴函数f(x)的增区间为－12，0∪12，＋∞，减区间为－∞，－12∪0，12.【错因】求单调区间时，先确定定义域．本题函数定义域为(0，＋∞)，本解答由于没有确定定义域导致出现－∞，－12和－12，0这样的单调区间．单调区间不能用并集表示．【正解】由题设函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝4x－1x＝4x2－1x，由f′(x)＞0得x＞12，由f′(x)＜0得0＜x＜12，∴函数f(x)＝2x2－lnx的单调增区间为12，＋∞，减区间为0，12.