区间估计(第六章第34两节)

§6.3§6.4：P165-167；170-174；178表格（在理解的基础上记熟）一、思想方法测量或计算时，常不以得到近似值为满足，还需要估计误差（真值近似值xx）即要求确切地知道近似值的近似程度（亦即真值的取值范围）类似地，对于未知参数，除了要求出它的点估计ˆ外，我们还希望估计出一个范围，并希望知道这个范围包含参数真值的可靠程度，这样的范围通常用区间的形式给出，同时还要给出此区间包含参数真值的可靠程度，这种形式的估计称为区间估计，现在先引入置信区间的定义。置信区间设总体分布含有一个未知参数，若由样本确定的两个统计量),,,(ˆ211nXXX及),,,(ˆ212nXXX对于给定值)10(满足1)ˆˆ(21P(*)则称随机区间)ˆ,ˆ(21是未知参数的置信区间。1ˆ称为置信下限，2ˆ称为置信上限，1称为置信度(*)式的意义如下：若反复抽样多次（每次抽样的样本容量都相等）每组样本观察值都确定了一个区间)ˆ,ˆ(21，每个这样的区间要么包含的真值，要么不包含，按贝努里大数定律，在这些区间中包含真值的区间大约占)%1(100，不包含真值的区间大约占%100左右，例如01.0，反复抽样1000次，则得到的1000个区间中不含真值的区间仅有10个左右。例题1设总体)09.0,(~NX，随机抽样得到4个独立的观察值4321,,,xxxx求总体均值的1置信区间分析：我们知道X是的无偏估计，且有)1,0(~/NnXZnX/所服从的分布)1,0(N不依赖于待估参数，按标准正态分布的上侧分位数的定义，有1/2unXP即122nuXnuXP这样我们就得到了的一个置信度为1的置信区间★nuXnuX22,这样的置信区间常写成nuX2例如，在此例中若得到的一组样本观察值为6.12，4.13，8.12，2.13，求的%95置信区间05.095.01，样本容量4n，3.009.0，样本均值13)2.138.124.136.12(4111niixnx，代入上式得的%95置信区间为（12.71，13.29）其含义是：若反复抽样多次，每个样本值按★式确定一个区间，按上面的解释，在这么多的区间中，包含的约占%95，不包含的约占%5，现在抽样得到区间（12.71，13.29），则该区间属于那些包含的区间的可信程度为%95，或“该区间包含”这一陈述的可信程度为%95然而，置信度为1的置信区间并不是唯一的，以此例来说，若给定05.0，则又有95.0/01.004.0znXzP即95.004.001.0znXznXP故04.001.0,znXznX也是的%95置信区间。我们将它与★中令05.0所得的置信度为%95的置信区间025.0025.0,znXznX相比较，可知由★所确定的区间的长度为？而第二种区间估计的区间长度为？置信区间短表示估计的精度高。故由★给出的区间较好，易知，象)1,0(N分布那样其概率密度的图形是单峰且对称的情况，当n固定时，以形如★那样的区间其长度为最短，我们自然选用它。但即使是在概率密度的图形不对称的情形，如2分布和F分布，习惯上仍取对称的分位数来计算未知参数的1置信区间。求置信区间的方法与步骤:第一步构造含待估的未知参数而且分布为已知的一个随机变量(样本的某个函数)Z，Z中除待估参数外不含其它任何未知参数，一般是从未知参数的点估计着手，再进行加工来构造；第二步对给定的置信度1,根据Z的分布定出满足1}{bZaP的a，b;第三步用不等式变形,求出未知参数的1置信区间.下面给出一些常见的置信区间二、总体X服从正态分布),(2N时总体参数的区间估计设总体),(~2NX，nXXX,,,21是来自该总体的样本。（一）数学期望的区间估计（1）2已知，求的1置信区间a．选择包含的分布已知的函数:)1,0(~/NnXZb．构造Z的一个1区间:1/22znXzPc．变形得到的1置信区间:22,znXznX。（2）2未知，求的1置信区间a．选择包含的分布已知的函数:)1(~/ntnSXTb．构造T的一个1区间:1)1(/)1(22ntnSXntPc．变形得到的1置信区间:)1(),1(22ntnSXntnSX。（二）方差的区间估计（1）已知，求2的1置信区间由§4.1节2分布的定义知)(~)(2212nXQnii,对给定的,由于1))()((22122nQnP,解不等式)()(22122nQn,可得2的置信度为1的置信区间是:)()(,)()(211221222nXnXniinii。（2）未知，求2的1置信区间a．选择包含2的分布已知函数)1(~)1(222nSnQb．构造2的一个1区间:1)}1()1()1({2222221nSnnPc．变形得到2的1置信区间:)1()(,)1()(211221222nXXnXXniinii。